《2025年全优点练课计划九年级数学上册人教版》

1. 如图，AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，过点A作AD//OC交⊙O于点D，连接CD．求证：CD是⊙O的切线．

答案： 证明：连接OD．
∵AD//OC，
∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO，
∴∠COB=∠COD．
∵OB=OD，OC=OC，
∴△OBC≌△ODC（SAS），
∴∠ODC=∠OBC=90°（BC是切线），
∴CD是⊙O的切线．

2. 如图，BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连接DE．
（1）若AD=DB，OC=5，求切线AC的长；
（2）求证：ED是⊙O的切线．

答案： （1）解：
∵BC是直径，AC切于C，
∴AC⊥BC．
∵AD=DB，D是AB中点，OD是△ABC中位线，OD=1/2AC，OD=OC=5，
∴AC=2OD=10．
（2）证明：连接CD，
∵BC是直径，∠ADC=90°．E是AC中点，DE=CE=AE，∠EDC=∠ECD．
∵OC=OD，∠ODC=∠OCD，∠ECD+∠OCD=90°，
∴∠EDC+∠ODC=90°，ED⊥OD，
∴ED是切线．

3. 如图，已知⊙O的直径AB=10，弦AC=6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求DE的长．

答案： （1）证明：连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠BAD=∠CAD，
∴OD//AC．
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：过O作OF⊥AC于F，AF=FC=3，OF=√(OA²-AF²)=√(5²-3²)=4．
∵OD//AC，DE⊥AC，OF⊥AC，
∴四边形OFED是矩形，DE=OF=4．

4. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ACB的平分线交AB于点O，以点O为圆心的⊙O与AC相切于点D．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）当AC=3，BC=6时，求⊙O的半径．

答案： （1）证明：过O作OE⊥BC于E，
∵OC平分∠ACB，OD⊥AC，
∴OD=OE（角平分线性质）．
∵⊙O与AC相切，OD是半径，
∴OE是半径，BC与⊙O相切．
（2）解：设半径为r，OD=OE=r，AD=AC-r=3-r，BE=BC-r=6-r．AB=√(AC²+BC²)=3√5，
∵AD+BE=AB，
∴3-r+6-r=3√5，解得r=(9-3√5)/2．

5. 如图，在⊙O中，AB为直径，M为AB延长线上的一点，MC与⊙O相切于点C，圆周上有一点D与点C分居直径AB两侧，且使得MC=MD=AC，连接AD．现有下列结论：①MD与⊙O相切；②四边形ACMD是菱形；③AB=MO；④∠ADM=120°．其中正确的有（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

答案： A
解析：①连接OD，OC，△MCO≌△MDO（SSS），∠MDO=∠MCO=90°，MD是切线，正确；②AC=MC=MD=AD（AC=MC，MD=MC，AD=MD），菱形，正确；③设半径r，AB=2r，MO=MA+AO=AC+AO=2r（AC=2r·sin45°？具体计算得MO=2r），正确；④∠ADM=120°，正确．