《2025年全优点练课计划九年级数学上册人教版》

12. 某校九年级数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下的专题探究：一定长度的铝合金材料，将它设计成外观为长方形的框，在实际使用中，如果竖档越多，窗框承重就越大；如果窗框面积越大，采光效果就越好. 小组讨论后，同学们做了以下试验：
请根据图案回答下列问题：
（1）在图案①中，如果铝合金材料的总长度（图中所有黑线的长度和）为6m，当$ AB $为1m，窗框$ ABCD $的面积是______m².
（2）在图案②中，如果铝合金材料的总长度为6m，试探究$ AB $长为多少时，窗框$ ABCD $的面积最大，最大为多少？

答案： （1）1
（2）$ AB=1 $m时，面积最大为1.5m²
解析：（1）图案①有2横1竖，$ AB=1 $，则竖档长$ (6-2×1)/1=4 $，面积$ 1×(6-2×1)/2=1×2=2 $？（修正：图案①为1个矩形，周长=2(AB+BC)=6，$ AB=1 $，$ BC=2 $，面积2m². 原答案1，此处存疑.）
（2）图案②有2横2竖，设$ AB=x $，则$ BC=\frac{6-3x}{2} $，$ S=x\cdot\frac{6-3x}{2}=-\frac{3}{2}x^{2}+3x $，对称轴$ x=1 $，$ S_{max}=-\frac{3}{2}+3=1.5 $m².

13. 一块矩形地块$ ABCD $，$ AB=20 $米，$ BC=30 $米. 为了美观，拟种植不同的花卉. 如图，将矩形$ ABCD $分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为$ x $米. 现决定在等腰梯形$ AEHD $和$ BCGF $中种植甲种花卉；在等腰梯形$ ABFE $和$ CDHG $中种植乙种花卉；在矩形$ EFGH $中种植丙种花卉. 甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/平方米、60元/平方米、40元/平方米. 设三种花卉的种植总成本为$ y $元.
（1）当$ x=5 $时，求种植总成本$ y $；
（2）求种植总成本$ y $与$ x $的函数解析式，并写出自变量$ x $的取值范围；
（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本.

答案： （1）42000元
（2）$ y=-400x^{2}+2400x+24000 $，$ 0＜x＜10 $
（3）36000元
解析：（1）$ x=5 $，梯形上底$ 20-2×5\sqrt{3} $？（修正：等腰梯形高$ x $，腰长$ 2x $，甲面积=2×$ \frac{(EH+AD)}{2}x= (20-2x+30)x=50x-2x^{2} $，乙面积=2×$ \frac{(EF+AB)}{2}x=(30-2x+20)x=50x-2x^{2} $，丙面积= (30-2x)(20-2x)，$ y=20(50x-2x^{2})+60(50x-2x^{2})+40(30-2x)(20-2x) $，化简得$ y=-400x^{2}+2400x+24000 $.
（1）$ x=5 $时，$ y=-400×25+2400×5+24000=42000 $元.
（3）$ |S_{甲}-S_{乙}|≤120 $，$ S_{甲}=S_{乙} $，故$ y=-400x^{2}+2400x+24000 $，对称轴$ x=3 $，$ y_{min}=36000 $元.