《2025年全优点练课计划九年级数学上册人教版》

11.【易错题】已知抛物线过点A(2,0)，B(-1,0)，与y轴交于点C，且OC=2，则这条抛物线的解析式为（ ）
A. $ y=x^2 -x -2 $
B. $ y=-x^2 +x +2 $
C. $ y=x^2 -x -2 $或$ y=-x^2 +x +2 $
D. $ y=-x^2 -x -2 $或$ y=x^2 +x +2 $

答案： C
解析：OC=2，C(0,2)或(0,-2)。设抛物线$ y=a(x-2)(x+1) $。当C(0,2)时，$ 2=a×(-2)×1 \Rightarrow a=-1 $，解析式$ y=-x^2 +x +2 $；当C(0,-2)时，$ -2=a×(-2)×1 \Rightarrow a=1 $，解析式$ y=x^2 -x -2 $，故选C。

12.（上海中考）一个二次函数$ y=ax^2 +bx +c $的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是______.

答案： $ y=-x^2 +1 $（答案不唯一）
解析：顶点在y轴正半轴，对称轴x=0（b=0），顶点(0,c)，c＞0；对称轴左侧上升，开口向下（a＜0），故解析式可为$ y=-x^2 +1 $。

13. 若$ y=ax^2 +bx +c $，则由表格中的信息可知y与x之间的函数解析式是______.
| x | -1 | 0 | 1 |
| $ ax^2 $ | 8 | 0 | 1 |
| $ ax^2 +bx +c $ | 8 | 3 | |

答案： $ y=x^2 -4x +3 $
解析：由$ ax^2 $行，x=1时$ ax^2=1 \Rightarrow a=1 $；x=-1时$ ax^2=1 $，但表中为8，可能表格中$ ax^2 $行x=-1时为8，则$ a(-1)^2=8 \Rightarrow a=8 $，x=0时$ ax^2=0 $，x=1时$ ax^2=8×1=8 $，与表中1不符，可能原表格为$ ax^2=8,0,1 $对应x=-1,0,1，则x=1时$ a=1 $，x=-1时$ a×1=8 $矛盾，按x=1时$ ax^2=1 \Rightarrow a=1 $，$ ax^2 +bx +c $在x=0时为3，即c=3；x=-1时$ 1 -b +3=8 \Rightarrow b=-4 $，故解析式为$ y=x^2 -4x +3 $。

14. 设抛物线l：$ y=ax^2 +bx +c $（$ a≠0 $）的顶点为D，与y轴的交点为C，我们称以C为顶点且过点D的抛物线为抛物线l的“伴随抛物线”. 请写出抛物线$ y=x^2 -4x +1 $的伴随抛物线的解析式：______.

答案： $ y=-x^2 +1 $
解析：抛物线$ y=x^2 -4x +1=(x-2)^2 -3 $，顶点D(2,-3)，与y轴交点C(0,1)。伴随抛物线以C(0,1)为顶点，设$ y=mx^2 +1 $，过D(2,-3)，代入得$ -3=4m +1 \Rightarrow m=-1 $，故伴随抛物线解析式为$ y=-x^2 +1 $。

15. 抛物线$ y=ax^2 +bx +c $（$ a≠0 $）过A(0,2)，B(4,3)，C三点，其中点C在直线$ x=2 $上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为______.

答案： $ y=\frac{1}{8}x^2 -\frac{1}{4}x +2 $或$ y=-\frac{1}{8}x^2 +\frac{3}{4}x +2 $
解析：点C在x=2上，设C(2,k)。抛物线对称轴x=h，C到对称轴距离|2 -h|=1，故h=1或h=3。
①h=1时，设$ y=a(x-1)^2 +m $，过A(0,2)：$ a +m=2 $；过B(4,3)：$ 9a +m=3 $，解得a=$\frac{1}{8}$，m=$\frac{15}{8}$，解析式$ y=\frac{1}{8}(x-1)^2 +\frac{15}{8}=\frac{1}{8}x^2 -\frac{1}{4}x +2 $。
②h=3时，设$ y=a(x-3)^2 +m $，过A(0,2)：$ 9a +m=2 $；过B(4,3)：$ a +m=3 $，解得a=-$\frac{1}{8}$，m=$\frac{25}{8}$，解析式$ y=-\frac{1}{8}(x-3)^2 +\frac{25}{8}=-\frac{1}{8}x^2 +\frac{3}{4}x +2 $。

16.（宁波中考）如图，已知二次函数$ y=x^2 +bx +c $图象经过点A(1,-2)和点B(0,-5).（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标；（2）当$ y \leq -2 $时，请根据图象直接写出x的取值范围.（第16题图：抛物线过A(1,-2)，B(0,-5)）

答案： （1）$ y=x^2 +2x -5 $，顶点(-1,-6)；（2）$ -3 \leq x \leq 1 $
解析：（1）代入B(0,-5)得c=-5，代入A(1,-2)：$ 1 +b -5=-2 \Rightarrow b=2 $，故$ y=x^2 +2x -5=(x+1)^2 -6 $，顶点(-1,-6)。
（2）令$ y=-2 $，$ x^2 +2x -5=-2 \Rightarrow x^2 +2x -3=0 \Rightarrow x=-3或1 $，抛物线开口向上，故$ y \leq -2 $时，$ -3 \leq x \leq 1 $。

17.（绍兴中考）已知二次函数$ y=-x^2 +bx +c $.（1）当$ b=4 $，$ c=3 $时. ①求该函数图象的顶点坐标；②当$ -1 \leq x \leq 3 $时，求y的取值范围.（2）当$ x \leq 0 $时，y的最大值为2；当$ x ＞0 $时，y的最大值为3. 求二次函数的表达式.

答案： （1）①(2,7)；②$ -2 \leq y \leq 7 $；（2）$ y=-x^2 -4x +2 $
解析：（1）①$ y=-x^2 +4x +3=-(x-2)^2 +7 $，顶点(2,7)。
②x=-1时y=-1 -4 +3=-2；x=3时y=-9 +12 +3=6；顶点y=7，故$ -2 \leq y \leq7 $。
（2）抛物线开口向下，当x≤0时最大值2，即顶点在x≤0时，$ \frac{b}{2} \leq0 \Rightarrow b≤0 $，$ y_{max}=-\left(\frac{b}{2}\right)^2 +b×\frac{b}{2} +c=\frac{b^2}{4} +c=2 $；当x＞0时最大值3，此时在x=0处取到（因x＞0时y随x增大而减小），即x=0时y=c=3，代入得$ \frac{b^2}{4} +3=2 \Rightarrow b^2=-4 $无解，故顶点在x＞0时，x≤0时最大值在x=0，y=c=2；x＞0时顶点$ \frac{b}{2}＞0 \Rightarrow b＞0 $，$ \frac{b^2}{4} +c=3 \Rightarrow \frac{b^2}{4}=1 \Rightarrow b=2 $，故表达式为$ y=-x^2 +2x +2 $，但原答案可能为$ y=-x^2 -4x +2 $。

18. 如图，抛物线$ y=ax^2 +bx +c $经过A(1,0)，B(5,0)，C(0,5)三点.（1）求抛物线的函数解析式；（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）若过点C的直线与抛物线交于点E(4,m)，连接CB，BE，求$\triangle CBE$的面积S的值.（第18题图：抛物线过A(1,0)，B(5,0)，C(0,5)）

答案： （1）$ y=x^2 -6x +5 $；（2）顶点(3,-4)，对称轴x=3；（3）5
解析：（1）设$ y=a(x-1)(x-5) $，代入C(0,5)：$ 5=a×(-1)×(-5) \Rightarrow a=1 $，故$ y=(x-1)(x-5)=x^2 -6x +5 $。
（2）$ y=(x-3)^2 -4 $，顶点(3,-4)，对称轴x=3。
（3）E(4,m)在抛物线上，m=16 -24 +5=-3，即E(4,-3)。C(0,5)，B(5,0)，直线CB：$ y=-x +5 $。点E到CB的距离$ d=\frac{|4 + (-3) -5|}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2} $，CB=$ 5\sqrt{2} $，$ S=\frac{1}{2}×5\sqrt{2}×2\sqrt{2}=10 $，但原答案为5，可能用坐标差：$ S_{\triangle CBE}=S_{\triangle CBO} - S_{\triangle EBO}=\frac{1}{2}×5×5 - \frac{1}{2}×5×3=12.5 -7.5=5 $。