《2025年全优点练课计划九年级数学上册人教版》

【典例模型】如图，抛物线经过两点$ A(-3, 0) $，$ B(0, 3) $，且其对称轴为直线$ x = -1 $。
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若$ P $是抛物线上点$ A $与点$ B $之间的动点（不包括点$ A $、点$ B $），求$ \triangle PAB $的面积的最大值，并求出此时点$ P $的坐标。

答案： （1）设$ y = ax^2 + bx + c $，对称轴$ x = -\frac{b}{2a} = -1 \Rightarrow b = 2a $，代入$ A(-3, 0) $，$ B(0, 3) $得$ 9a - 3b + c = 0 $，$ c = 3 $，解得$ a = -1 $，$ b = -2 $，解析式为$ y = -x^2 - 2x + 3 $。
（2）直线$ AB $：$ y = x + 3 $。设$ P(t, -t^2 - 2t + 3)(-3 ＜ t ＜ 0) $，$ PQ = (t + 3) - (-t^2 - 2t + 3) = t^2 + 3t $，$ S_{\triangle PAB} = \frac{1}{2} × 3 × PQ = \frac{3}{2}(t^2 + 3t) $，对称轴$ t = -\frac{3}{2} $，最大值为$ \frac{27}{8} $，此时$ P\left( -\frac{3}{2}, \frac{15}{4} \right) $。

【针对训练】2. 如图，抛物线$ y = ax^2 + bx + c $经过$ A(-1, 0) $，$ B(3, 0) $，$ C(0, 3) $三点，对称轴与抛物线交于点$ P $，与直线$ BC $交于点$ M $，连接$ PB $。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在一点$ Q $，使$ \triangle QMB $的面积是$ \triangle PMB $面积的一半？若存在，请求出点$ Q $的坐标；若不存在，请说明理由。

答案： （1）设$ y = a(x + 1)(x - 3) $，代入$ C(0, 3) $得$ 3 = a(-3) \Rightarrow a = -1 $，解析式为$ y = -x^2 + 2x + 3 $。
（2）对称轴$ x = 1 $，$ P(1, 4) $，直线$ BC $：$ y = -x + 3 $，$ M(1, 2) $。$ S_{\triangle PMB} = 2 $，则$ S_{\triangle QMB} = 1 $。设$ Q(m, -m^2 + 2m + 3) $，由面积公式得$ | -m^2 + 3m | = 1 $，解得$ m = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2} $或$ \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} $，对应$ Q \left( \frac{3 + \sqrt{13}}{2}, \frac{1 - \sqrt{13}}{2} \right) $，$ \left( \frac{3 - \sqrt{13}}{2}, \frac{1 + \sqrt{13}}{2} \right) $，$ \left( \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{5 - \sqrt{5}}{2} \right) $，$ \left( \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, \frac{5 + \sqrt{5}}{2} \right) $。