《2025年全优点练课计划九年级数学上册人教版》

【典例模型】如图，已知抛物线$ y = ax^2 + bx + c (a \neq 0) $经过$ A(-1, 0) $，$ B(3, 0) $，$ C(0, -3) $三点，直线$ l $是抛物线的对称轴。
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）设$ P $是直线$ l $上的一个动点，当点$ P $到点$ A $、点$ B $的距离之和最短时，求点$ P $的坐标；
（3）$ M $也是直线$ l $上的动点，且$ \triangle MAC $为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点$ M $的坐标。

答案： （1）设$ y = a(x + 1)(x - 3) $，代入$ C(0, -3) $得$ -3 = a(-3) \Rightarrow a = 1 $，解析式为$ y = x^2 - 2x - 3 $。
（2）对称轴$ x = 1 $，$ A $关于$ l $的对称点为$ B $，$ P $为$ l $与$ AB $交点，$ AB $：$ y = x - 1 $，$ P(1, 0) $。
（3）$ M(1, t) $，$ AC = 3\sqrt{2} $，$ MC = \sqrt{1 + (t + \sqrt{3})^2} $，$ MA = \sqrt{4 + t^2} $，解得$ M(1, -3 + \sqrt{14}) $，$ (1, -3 - \sqrt{14}) $，$ (1, 0) $，$ (1, 1) $。

【针对训练】3. 如图，在平面直角坐标系中，直线$ y = x + 4 $与$ x $轴、$ y $轴分别交于点$ A $，$ C $，抛物线$ y = -x^2 + bx + c $过点$ A $和点$ C $，与$ x $轴交于点$ B $。
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）抛物线对称轴与直线$ AC $交于点$ D $，若$ P $是直线$ AC $上方抛物线上的一个动点（点$ P $不与点$ A $，$ C $重合），求$ \triangle PAD $面积的最大值；
（3）$ M $是抛物线对称轴上的一动点，在$ x $轴上方的抛物线上是否存在点$ N $，使得$ \triangle ANM $是以$ AN $为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点$ N $的坐标；若不存在，请说明理由。

答案： （1）直线$ y = x + 4 $交$ x $轴$ A(-4, 0) $，$ y $轴$ C(0, 4) $，代入抛物线得$ c = 4 $，$ -16 - 4b + 4 = 0 \Rightarrow b = -3 $，解析式为$ y = -x^2 - 3x + 4 $。
（2）对称轴$ x = -\frac{3}{2} $，$ D\left( -\frac{3}{2}, \frac{5}{2} \right) $。设$ P(t, -t^2 - 3t + 4) $，$ S_{\triangle PAD} = \frac{1}{2} × \frac{5}{2} × \left( -t^2 - 4t \right) $，最大值为$ \frac{25}{8} $。
（3）存在，$ N(1, 0) $（舍），$ N(0, 4) $（舍），$ N(-1, 6) $，$ N(2, -6) $（舍），综上$ N(-1, 6) $。