《2025年全优点练课计划九年级数学上册人教版》

1. 下列函数中，是二次函数的是（ ）
A. $y = ax^2 + bx + c$
B. $y = x(2x - 3)$
C. $y = (x + 4)^2 - x^2$
D. $y = \frac{1}{x^2}$

答案： B
解析：A选项未注明$a \neq 0$；B选项$y = 2x^2 - 3x$，二次项系数$2 \neq 0$，是二次函数；C选项化简为$8x + 16$，一次函数；D选项是反比例函数。故选B。

2. 二次函数 $y = 2x(x - 1)$ 的一次项系数是（ ）
A. $1$
B. $-1$
C. $2$
D. $-2$

答案： D
解析：$y = 2x(x - 1) = 2x^2 - 2x$，一次项系数为$-2$。故选D。

3. 已知 $y = (m + 2)x^{|m|} + 2$ 是关于 $x$ 的二次函数，那么 $m$ 的值为（ ）
A. $-2$
B. $2$
C. $\pm 2$
D. $0$

答案： B
解析：二次函数需满足$|m| = 2$且$m + 2 \neq 0$，$|m| = 2$得$m = \pm 2$，$m + 2 \neq 0$得$m \neq -2$，故$m = 2$。选B。

4. 已知 $y = (a + 2)x^2 + x - 3$ 是关于 $x$ 的二次函数，则常数 $a$ 应满足的条件是______.

答案： $a \neq -2$
解析：二次函数二次项系数不为0，即$a + 2 \neq 0$，故$a \neq -2$。

5. 下列函数哪些是二次函数？如果是二次函数，请写出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。
(1) $3y = 3(x - 1)^2 + 1$；
(2) $y = -0.5(x - 1)(x + 4)$；
(3) $s = 3 - 2t^2$；
(4) $y = 2x(x^2 + 3x - 1)$；
(5) $y = x - \sqrt{2}x^2$.

答案：
(1) 是，二次项系数$1$，一次项系数$-2$，常数项$\frac{4}{3}$
解析：化简$y = (x - 1)^2 + \frac{1}{3} = x^2 - 2x + \frac{4}{3}$。
(2) 是，二次项系数$-0.5$，一次项系数$-1.5$，常数项$2$
解析：$y = -0.5(x^2 + 3x - 4) = -0.5x^2 - 1.5x + 2$。
(3) 是，二次项系数$-2$，一次项系数$0$，常数项$3$
解析：$s = -2t^2 + 3$。
(4) 不是，最高次为三次
解析：展开后含$x^3$项。
(5) 是，二次项系数$-\sqrt{2}$，一次项系数$1$，常数项$0$
解析：$y = -\sqrt{2}x^2 + x$。

6. 用一根长为 $60\ cm$ 的铁丝围成一个矩形，则矩形的面积 $y\ (cm^2)$ 与它的一边长 $x\ (cm)$ 之间的函数解析式为（ ）
A. $y = x^2 - 30x\ (0 ＜ x ＜ 30)$
B. $y = -x^2 + 30x\ (0 \leq x ＜ 30)$
C. $y = -x^2 + 30x\ (0 ＜ x ＜ 30)$
D. $y = -x^2 + 30x\ (0 ＜ x \leq 30)$

答案： C
解析：矩形另一边长$\frac{60 - 2x}{2} = 30 - x$，面积$y = x(30 - x) = -x^2 + 30x$，边长$x ＞ 0$且$30 - x ＞ 0$，即$0 ＜ x ＜ 30$。选C。

7. 把 $160\ 元$ 的电器连续两次降价后的价格为 $y\ 元$。若平均每次降价的百分率为 $x$，则 $y$ 与 $x$ 之间的函数解析式为（ ）
A. $y = 320(x - 1)$
B. $y = 320(1 - x)$
C. $y = 160(1 - x^2)$
D. $y = 160(1 - x)^2$

答案： D
解析：第一次降价后价格$160(1 - x)$，第二次降价后$160(1 - x)(1 - x) = 160(1 - x)^2$。选D。

8. 九年级共有 $x$ 名同学，在开学见面时每两名同学都握手一次，共握手 $y$ 次，则 $y$ 与 $x$ 之间的函数解析式为______.

答案： $y = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x$
解析：每名同学握手$(x - 1)$次，共$x(x - 1)$次，重复一次，故$y = \frac{x(x - 1)}{2} = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x$。

9. 如图，在靠墙（墙长为 $20\ m$）的地方围建一个矩形的养鸡场，另三边用竹篱笆围成。如果竹篱笆的总长为 $50\ m$，设养鸡场垂直于墙的一边长为 $x\ m$。求养鸡场的面积 $y\ (m^2)$ 与 $x\ (m)$ 之间的函数解析式，并求出自变量的取值范围。（第9题图）

答案： $y = -2x^2 + 50x$，$\frac{15}{2} ＜ x ＜ 25$
解析：平行于墙的边长为$50 - 2x$，面积$y = x(50 - 2x) = -2x^2 + 50x$。由$50 - 2x ＞ 0$且$50 - 2x \leq 20$，得$15 \leq x ＜ 25$（墙长限制$50 - 2x \leq 20$即$x \geq 15$），故自变量范围$15 \leq x ＜ 25$。