《2025年全优点练课计划九年级数学上册人教版》

18. (7分) 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同根方程”。例如 $x^2 = 9$ 和 $(x - 2)(x + 3) = 0$ 有且只有一个相同的实数根 $x = -3$，所以这两个方程为“同根方程”。
(1) 请判断一元二次方程 $(x - 1)^2 = 16$ 与 $x^2 - 4x - 5 = 0$ 是否属于“同根方程”，并说明理由；
(2) 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 3x + 2 = 0$ 与 $x^2 - m = 0$ 为“同根方程”，求 $m$ 的值。

答案：
(1) 是“同根方程”
解析：解方程$(x - 1)^2 = 16$，得$x - 1 = \pm 4$，$x_1 = 5$，$x_2 = -3$；解方程$x^2 - 4x - 5 = 0$，因式分解$(x - 5)(x + 1) = 0$，$x_1 = 5$，$x_2 = -1$。两方程有且只有一个相同根$x = 5$，故是“同根方程”。
(2) $m = 1$ 或 $m = 4$
解析：方程$x^2 - 3x + 2 = 0$的根为$x_1 = 1$，$x_2 = 2$；方程$x^2 - m = 0$的根为$x = \pm \sqrt{m}$。要使两方程为“同根方程”，则$\sqrt{m} = 1$（此时另一根$-1$不同）或$\sqrt{m} = 2$（此时另一根$-2$不同），故$m = 1^2 = 1$或$m = 2^2 = 4$。

19. (8分) 某商店以每件 $40\ 元$ 的价格进了一批热销商品，出售价格经过两个月的调整，从每件 $50\ 元$ 上涨到每件 $72\ 元$，此时每月可售出 $188\ 件$ 商品。
(1) 求该商品平均每月的价格增长率；
(2) 因某些原因，该商店需尽快将这批商品售出，决定降价出售。经过市场调查发现：售价每下降 $1\ 元$，每个月多卖出 $1\ 件$。设实际售价为每件 $x\ 元$，则当 $x$ 的值为多少时，商品每月的利润可达到 $4000\ 元$？

答案：
(1) $20\%$
解析：设月增长率为$r$，则$50(1 + r)^2 = 72$，$(1 + r)^2 = 1.44$，$1 + r = 1.2$（负根舍去），$r = 0.2 = 20\%$。
(2) $60\ 元$
解析：利润$y = (x - 40)[188 + (72 - x)] = (x - 40)(260 - x) = 4000$。展开$-x^2 + 300x - 10400 = 4000$，即$x^2 - 300x + 14400 = 0$，因式分解$(x - 60)(x - 240) = 0$，解得$x = 60$（$x = 240$舍去，因需降价），故$x = 60$。