《2025年全优点练课计划九年级数学上册人教版》

16.（6分）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，将△BCD绕点C旋转得到△ACE，连接DE.
（1）求证：DE//BC.
（2）若AB=8，BD=7，求△ADE的周长.

答案： （1）证明：旋转得CD=CE，∠BCD=∠ACE。△ABC等边，∠ACB=60°，
∴∠DCE=60°，△CDE等边，∠CDE=60°=∠ACB，
∴DE//BC。
（2）解：AE=BD=7，DE=CD，AD+CD=AC=AB=8，△ADE周长=AD+DE+AE=8+7=15。

17.（8分）如图，P是等边三角形ABC内一点，且PA=6，PB=8，PC=10.若将△PAC绕点A逆时针旋转60°后得到△P'AB，连接PP'.
（1）求PP'的长度；
（2）求∠APB的度数.

答案： （1）解：旋转得AP=AP'=6，∠PAP'=60°，△APP'等边，PP'=6。
（2）解：P'B=PC=10，在△PP'B中，$6^2+8^2=10^2$，∠PP'B=90°，∠APB=∠APP'+∠PP'B=60°+90°=150°。

19.（10分）如图，$E$是正方形$ABCD$的边$BC$上一点，连接$AE$．将线段$AE$绕点$E$顺时针旋转一定的角度得到$EF$，点$F$在边$BC$的延长线上，连接$AF$交边$CD$于点$G$．
（1）若$AB = 4$，$BF = 8$，求$CE$的长．
（2）求证：$AE = BE + DG$．

答案： （1）$2$
解析：设$CE = x$，则$BE = 4 - x$，$CF = BF - BC = 8 - 4 = 4$．由旋转得$AE = EF$，则$AE^2 = AB^2 + BE^2 = 4^2 + (4 - x)^2$，$EF^2 = CE^2 + CF^2 = x^2 + 4^2$．故$4^2 + (4 - x)^2 = x^2 + 4^2$，解得$x = 2$．
（2）证明：延长$EB$至$H$，使$BH = DG$，连接$AH$．可证$\triangle ABH \cong \triangle ADG(SAS)$，得$\angle BAH = \angle DAG$，$AH = AG$．由$AE = EF$得$\angle EAF = \angle F$，又$AD // BF$，$\angle DAG = \angle F$，故$\angle BAH = \angle EAF$，进而$\angle HAE = \angle BAF = \angle F = \angle AEH$，则$AH = EH$，即$AE = BE + BH = BE + DG$．