《2025年全优点练课计划九年级数学上册人教版》

11. 如图是一个隧道的横断面的示意图，它的形状是以点$O$为圆心的圆的一部分．如果$M$是$\odot O$的弦$CD$的中点，$EM$经过圆心$O$交$\odot O$于点$E$，且$CD = 6$，$EM = 10$，那么$\odot O$的半径为（ ）
A. $3$
B. $5$
C. $\frac{109}{20}$
D. $\frac{53}{10}$

答案： C
解析：设半径$r$，$OM = 10 - r$，$CM = 3$，$r^2 = 3^2 + (10 - r)^2$，解得$r = \frac{109}{20}$。

12. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = 5$，$AC = 4$，$BC = 2$，以点$A$为圆心、$AB$的长为半径作$\odot A$，延长$BC$交$\odot A$于点$D$，则$CD$的长为（ ）
A. $5$
B. $4$
C. $\frac{9}{2}$
D. $2\sqrt{5}$

答案： C
解析：作$AE \perp BD$于$E$，$BE = x$，$CE = x - 2$。$AB^2 - BE^2 = AC^2 - CE^2$，$25 - x^2 = 16 - (x - 2)^2$，解得$x = \frac{13}{4}$，$BD = 2BE = \frac{13}{2}$，$CD = BD - BC = \frac{13}{2} - 2 = \frac{9}{2}$。

13. 如图，$AB$是$\odot O$的弦，$AB$的长为$8$，$P$是$\odot O$上的一个动点（不与点$A$，$B$重合），过点$O$作$OC \perp AP$于点$C$，$OD \perp BP$于点$D$，则$CD$的长为________．

答案： 4
解析：$OC$，$OD$为垂径，$C$，$D$为中点，$CD$为$\triangle APB$中位线，$CD = \frac{AB}{2} = 4$。

14. 如图，$\odot O$的半径为$2$，弦$AB = 2\sqrt{3}$，点$C$在弦$AB$上，$AC = \frac{1}{4}AB$，则$OC$的长为________．

答案： $\frac{\sqrt{7}}{2}$
解析：作$OE \perp AB$于$E$，$AE = \sqrt{3}$，$OE = 1$，$CE = AE - AC = \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$OC = \sqrt{1^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \frac{\sqrt{7}}{2}$。

15. 【易错题】已知$\odot O$的直径为$10\ cm$，$AB$，$CD$是$\odot O$的两条弦，$AB // CD$，$AB = 8\ cm$，$CD = 6\ cm$，则$AB$与$CD$之间的距离为________$cm$．

答案： 7或1
解析：弦心距$d_1 = 3$，$d_2 = 4$。同侧时距离$4 - 3 = 1$，异侧时$4 + 3 = 7$。