《2025年全优点练课计划九年级数学上册人教版》

3. 如图，已知抛物线$y=-x^{2}+2x+1$与$y$轴交于点$A(0,1)$，过点$A$作直线$AB// x$轴，交抛物线于另一点$B$，此时，我们将这条直线$AB$命名为抛物线$y=-x^{2}+2x+1$的“最美分割线”，于是我们定义：在平面直角坐标系中，抛物线$y=ax^{2}+bx+c(a\neq0)$与$y$轴的交点坐标为$(0,c)$，那么我们把经过点$(0,c)$且平行于$x$轴的直线称为这条抛物线的“最美分割线”。
（1）求抛物线$y=x^{2}-2x+3$的“最美分割线”与这条抛物线的交点坐标。
（2）经过点$A(-4,0)$和点$B(x,0)(x＞-4)$的抛物线$y=-\frac{1}{2}x^{2}+mx+n$与$y$轴交于点$C$，它的“最美分割线”与该抛物线的另一个交点为$D$，请用含$m$的代数式表示点$D$的坐标。
（3）在（2）的条件下，设抛物线$y=-\frac{1}{2}x^{2}+mx+n$的顶点为$P$，直线$EF$垂直平分$OC$，垂足为$E$，交该抛物线的对称轴于点$F$。
①连接$CF$，$DF$，当$\angle DFC=90^{\circ}$时，求点$P$的坐标。
②若直线$EF$与直线$MN$关于“最美分割线”对称，是否存在使点$P$到直线$MN$的距离与点$B$到直线$EF$的距离之比为$3:2$的$m$的值？若存在，请直接写出$m$的值；若不存在，请说明理由。

答案： （1）抛物线$y=x^{2}-2x+3$与$y$轴交于点$(0,3)$，“最美分割线”为$y=3$。联立$\begin{cases}y=3\\y=x^{2}-2x+3\end{cases}$，解得$x=0$或$x=2$，交点坐标为$(0,3)$，$(2,3)$。
（2）抛物线与$y$轴交于$C(0,n)$，“最美分割线”为$y=n$。联立$\begin{cases}y=n\\y=-\frac{1}{2}x^{2}+mx+n\end{cases}$，得$-\frac{1}{2}x^{2}+mx=0$，解得$x=0$或$x=2m$。将$A(-4,0)$代入抛物线得$0=-\frac{1}{2}×(-4)^{2}+m×(-4)+n$，即$n=4m+8$，故$D(2m,4m+8)$。
（3）①$C(0,4m+8)$，$E$为$OC$中点，$E(0,2m+4)$，$EF$为$y=2m+4$，抛物线对称轴$x=m$，$F(m,2m+4)$。$FC=(-m,2m+4)$，$FD=(m,2m+4)$，由$FC\perp FD$得$-m\cdot m+(2m+4)^{2}=0$，即$3m^{2}+16m+16=0$，解得$m=-4$（舍）或$m=-\frac{4}{3}$。顶点$P(m,\frac{1}{2}m^{2}+4m+8)$，代入$m=-\frac{4}{3}$得$P(-\frac{4}{3},\frac{32}{9})$。
②存在，$m=5\pm3\sqrt{5}$。