《2025年全优点练课计划九年级数学上册人教版》

10. 如图，A，B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，C为$\widehat{AB}$的中点. 求证：四边形OACB是菱形.

答案： 证明：
∵C为$\widehat{AB}$中点，
∴$\widehat{AC}=\widehat{BC}\Rightarrow$AC=BC。
∵OA=OB=OC，∠AOB=120°，
∴∠AOC=∠BOC=60°。
∴△AOC和△BOC为等边三角形，
∴OA=AC=BC=OB。
∴四边形OACB是菱形。

11. 【教材变式】如图，在⊙O中，AB，CD是两条弦，OM⊥CD，ON⊥AB. 如果AB=CD，那么下列结论不正确的是（ ）
A. ∠AON=∠DOM B. AN=DM C. OM=DM D. OM=ON

答案： C
解析：AB=CD，OM⊥CD，ON⊥AB$\Rightarrow$OM=ON（弦心距相等），AN=DM=$\frac{1}{2}$AB，∠AON=∠DOM。OM为弦心距，DM为CD一半，OM不一定等于DM，故选C。

12. 如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦CD交小圆于点E，F. OE，OF的延长线交大圆于点A，B，则$\widehat{AC}$______$\widehat{BD}$.

答案： =
解析：OE=OF，OC=OD，∠AOE=∠BOF$\Rightarrow$△OAC≌△OBD$\Rightarrow$$\widehat{AC}=\widehat{BD}$。

13. 如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，∠A=70°，则∠BOC=______.

答案： 125°
解析：弦长相等$\Rightarrow$O到三边距离相等$\Rightarrow$O为△ABC内心。∠BOC=180°-$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=180°-$\frac{1}{2}$(180°-70°)=125°。

14. 如图，⊙O的两条弦AB，CD互相垂直且交于点P，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，$\widehat{AC}=\widehat{BD}$. 求证：四边形OEPF是正方形.

答案： 证明：$\widehat{AC}=\widehat{BD}\Rightarrow$$\widehat{AB}=\widehat{CD}\Rightarrow$AB=CD。
OE⊥AB，OF⊥CD$\Rightarrow$OE=OF，AE=CF，BE=DF。
AB⊥CD，OE⊥AB，OF⊥CD$\Rightarrow$∠OEP=∠OFP=∠EPF=90°$\Rightarrow$四边形OEPF为矩形。
OE=OF$\Rightarrow$矩形OEPF为正方形。

15. 如图，∠AOB=90°，C，D是$\widehat{AB}$的三等分点，AB分别交OC，OD于点E，F，连接CD. 求证：AE=CD.

答案： 证明：设OA=OB=r，∠AOB=90°，C，D为$\widehat{AB}$三等分点，∠AOC=∠COD=∠DOB=30°。
OA=OC，∠OAC=75°，∠AEC=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°$\Rightarrow$AE=AC。
OC=OD，∠COD=30°，CD=2r·sin15°。AC=2r·sin15°$\Rightarrow$AE=CD。