《2025年全优点练课计划九年级数学上册人教版》

12. 若关于$x$的一元二次方程$2x^2 + (2k + 1)x - (4k - 1) = 0$的二次项系数、一次项系数、常数项的和是0，则$k = $________．

答案： 2
解析：二次项系数为2，一次项系数为$2k + 1$，常数项为$-(4k - 1)$，由题意得$2 + (2k + 1) + [-(4k - 1)] = 0$，化简得$2 + 2k + 1 - 4k + 1 = 0$，即$-2k + 4 = 0$，解得$k = 2$。

13. 某村种的水稻前年平均每公顷产量为7200千克，今年平均每公顷产量为8450千克．设这两年该村水稻每公顷产量的年平均增长率为$x$．根据题意，可列方程为________．

答案： $7200(1 + x)^2 = 8450$
解析：前年产量为7200，去年为$7200(1 + x)$，今年为$7200(1 + x)^2$，故方程为$7200(1 + x)^2 = 8450$。

14. 设$\alpha, \beta$是方程$x^2 + 2000x - 2 = 0$的两个根，则$(\alpha^2 + 2000\alpha - 1)(\beta^2 + 2000\beta + 2) = $________．

答案： 4
解析：因$\alpha$是方程的根，所以$\alpha^2 + 2000\alpha - 2 = 0$，即$\alpha^2 + 2000\alpha = 2$，则$\alpha^2 + 2000\alpha - 1 = 1$；同理$\beta^2 + 2000\beta = 2$，则$\beta^2 + 2000\beta + 2 = 4$，乘积为$1 × 4 = 4$。

15. 已知关于$x$的方程$(k^2 - 1)x^2 + (k + 1)x - 2 = 0$．
（1）当$k$为何值时，此方程为一元一次方程？求出此时方程的解．
（2）当$k$为何值时，此方程为一元二次方程？写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．

答案： （1）$k = 1$，$x = 1$；（2）$k \neq \pm 1$，二次项系数$k^2 - 1$，一次项系数$k + 1$，常数项$-2$
解析：（1）由一元一次方程定义得$\begin{cases} k^2 - 1 = 0 \\ k + 1 \neq 0 \end{cases}$，解得$k = 1$，此时方程为$2x - 2 = 0$，解得$x = 1$。
（2）由一元二次方程定义得$k^2 - 1 \neq 0$，即$k \neq \pm 1$，二次项系数$k^2 - 1$，一次项系数$k + 1$，常数项$-2$。

16. 某学校为美化校园，准备在长为35米、宽为20米的矩形场地上，修建若干条宽度相同的道路，余下部分作为草坪，并请全校学生参与方案设计．现有3名同学各设计了一种方案，图纸分别如图1、图2和图3所示（阴影部分为草坪）．请你根据这一问题，在每种方案中都只列出方程，不用求解．
（1）甲同学的方案设计图纸为图1，设计草坪的总面积为600平方米；
（2）乙同学的方案设计图纸为图2，设计草坪的总面积为600平方米；
（3）丙同学的方案设计图纸为图3，设计草坪的总面积为540平方米．

答案： （1）$(35 - x)(20 - x) = 600$；（2）$(35 - 2x) × 20 = 600$；（3）$(35 - 2x)(20 - 2x) = 540$（其中$x$为道路宽度）
解析：假设道路宽度为$x$，图1为单条纵横道路，图2为两条纵向道路，图3为纵横各两条道路，根据草坪面积列方程。

17. 请阅读下列材料：$x^2 + x - 1 = 0$，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为$y$，则$y = 2x$．$\therefore x = \frac{y}{2}$．把$x = \frac{y}{2}$代入已知方程，得$(\frac{y}{2})^2 + \frac{y}{2} - 1 = 0$．化简，得$y^2 + 2y - 4 = 0$．故所求方程为$y^2 + 2y - 4 = 0$．这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用材料提供的“换根法”求新方程．（要求：把所求方程化为一般形式）
（1）已知方程$x^2 + x - 2 = 0$，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为________．
（2）已知方程$2x^2 - 7x + 3 = 0$，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．

答案： （1）$x^2 - x - 2 = 0$；（2）$3x^2 - 7x + 2 = 0$
解析：（1）设所求方程根为$y = -x$，则$x = -y$，代入$x^2 + x - 2 = 0$得$(-y)^2 + (-y) - 2 = 0$，化简得$y^2 - y - 2 = 0$，即$x^2 - x - 2 = 0$。
（2）设所求方程根为$y = \frac{1}{x}$，则$x = \frac{1}{y}$，代入$2x^2 - 7x + 3 = 0$得$2(\frac{1}{y})^2 - 7(\frac{1}{y}) + 3 = 0$，两边乘$y^2$得$3y^2 - 7y + 2 = 0$，即$3x^2 - 7x + 2 = 0$。