《2025年全优点练课计划九年级数学上册人教版》

1. 如图，$AB$是$\odot O$的切线，$A$为切点，连接$OA$，$OB$. 若$\angle B=35^\circ$，则$\angle AOB$的度数为（ ）
A. $65^\circ$ B. $55^\circ$ C. $45^\circ$ D. $35^\circ$

答案： B
解析：切线垂直半径，$\angle OAB=90^\circ$，$\angle AOB=90^\circ-35^\circ=55^\circ$. 故选B.

3. （重庆中考）如图，$AC$是$\odot O$的切线，$B$为切点，连接$OA$，$OC$. 若$\angle A=30^\circ$，$AB=2\sqrt{3}$，$BC=3$，则$OC$的长度是（ ）
A. 3 B. $2\sqrt{3}$ C. $\sqrt{13}$ D. 6

答案： A
解析：$OB\perp AC$，$\angle A=30^\circ$，$OA=2OB$，$AB=\sqrt{OA^2-OB^2}=2\sqrt{3}$，解得$OB=2$，$OA=4$，$AC=AB+BC=2\sqrt{3}+3$，$OC=\sqrt{OB^2+BC^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$？原答案可能为A，需再核对，此处按计算应为$\sqrt{13}$，但选项C为$\sqrt{13}$，可能原解析有误，正确答案C.

4. 如图，$AB$为$\odot O$的直径，$C$，$D$为$\odot O$上的两点，$\angle CDB=25^\circ$，过点$C$作$\odot O$的切线交$AB$的延长线于点$E$，则$\angle E$的度数为_______.

答案： $40^\circ$
解析：$\angle COB=2\angle CDB=50^\circ$，切线$CE$得$\angle OCE=90^\circ$，$\angle E=90^\circ-50^\circ=40^\circ$.

5. 如图，$AB$是$\odot O$的直径，延长$AB$至点$C$，使$AC=3BC$，$CD$与$\odot O$相切于点$D$，若$CD=\sqrt{3}$，则$\odot O$半径的长为_______.

答案： 1
解析：设半径$r$，$BC=r$，$OC=2r$，$CD^2=BC\cdot AC=3r^2=3$，$r=1$.

6. 如图，$AB$是$\odot O$的直径，$CD$是$\odot O$的切线，切点为$D$，$CD$的延长线与$AB$的延长线交于点$E$，$\angle ADC=60^\circ$. 求证：$\triangle ADE$是等腰三角形.

答案： 证明：连接$OD$，$\because CD$是切线，$\therefore OD\perp CD$，$\angle ODC=90^\circ$.
$\angle ADC=60^\circ$，$\therefore \angle ADO=30^\circ$.
$\because OA=OD$，$\therefore \angle OAD=\angle ADO=30^\circ$，$\angle E=90^\circ-\angle AOD=90^\circ-60^\circ=30^\circ$.
$\therefore \angle E=\angle OAD$，$AD=DE$，$\triangle ADE$是等腰三角形.

7. （湖州中考）如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^\circ$，点$O$在边$AC$上，以点$O$为圆心、$OC$为半径的半圆与斜边$AB$相切于点$D$，交$OA$于点$E$，连接$OB$.
（1）求证：$BD=BC$；
（2）已知$OC=1$，$\angle A=30^\circ$，求$AB$的长.

答案： （1）$\because AB$切半圆于$D$，$\therefore OD\perp AB$，$OD=OC$，又$OB=OB$，$Rt\triangle OBD\congRt\triangle OBC(HL)$，$\therefore BD=BC$.
（2）$\angle A=30^\circ$，$OD=1$，$OA=2OD=2$，$AC=OA+OC=3$. $BC=AC\tan30^\circ=\sqrt{3}$，$AB=\frac{AC}{\cos30^\circ}=2\sqrt{3}$.

8. 如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OB交⊙O于点C，∠B=38°，D是⊙O上一点，连接CD，则∠D等于（ ）
A. 76° B. 38° C. 30° D. 26°

答案： D
解析：
∵AB是⊙O的切线，
∴OA⊥AB，∠OAB=90°．在Rt△OAB中，∠AOB=90°-∠B=90°-38°=52°．
∵∠D是弧AC所对圆周角，∠AOB是弧AC所对圆心角，
∴∠D=1/2∠AOB=26°．