《2025年全优点练课计划九年级数学上册人教版》

【典例模型】用因式分解法解下列方程：
(1) $x^2 - 3x = 0$；
(2) $3x(x - 2) = x - 2$.

答案：
(1) $x_1 = 0$，$x_2 = 3$；
(2) $x_1 = 2$，$x_2 = \frac{1}{3}$
解析：
(1) $x(x - 3) = 0$，解得 $x = 0$ 或 $x = 3$。
(2) 移项得 $3x(x - 2) - (x - 2) = 0$，$(x - 2)(3x - 1) = 0$，解得 $x = 2$ 或 $x = \frac{1}{3}$。

【针对训练】4. 用因式分解法解下列方程：
(1) $x(x - 2) = x$；
(2) $(x - 3)^2 + 4x(x - 3) = 0$；
(3) $(2x - 1)^2 - 5 = 0$；
(4) $3(2x + 1)^2 = 4x + 2$.

答案：
(1) $x_1 = 0$，$x_2 = 3$；
(2) $x_1 = 3$，$x_2 = \frac{3}{5}$；
(3) $x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$，$x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$；
(4) $x_1 = -\frac{1}{2}$，$x_2 = -\frac{1}{6}$
解析：
(1) 移项得 $x(x - 2) - x = 0$，$x(x - 3) = 0$，解得 $x = 0$ 或 $x = 3$。
(2) 提取公因式得 $(x - 3)(x - 3 + 4x) = 0$，$(x - 3)(5x - 3) = 0$，解得 $x = 3$ 或 $x = \frac{3}{5}$。
(3) 平方差公式得 $(2x - 1 - \sqrt{5})(2x - 1 + \sqrt{5}) = 0$，解得 $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$。
(4) 化简得 $3(2x + 1)^2 - 2(2x + 1) = 0$，$(2x + 1)(6x + 3 - 2) = 0$，$(2x + 1)(6x + 1) = 0$，解得 $x = -\frac{1}{2}$ 或 $x = -\frac{1}{6}$。

【典例模型】请阅读下列材料：
问题：解方程 $(x^2 - 1)^2 - 5(x^2 - 1) + 4 = 0$.
明明的做法是：将 $x^2 - 1$ 视为一个整体，然后设 $x^2 - 1 = y$，则 $(x^2 - 1)^2 = y^2$. 原方程可化为 $y^2 - 5y + 4 = 0$. 解得 $y_1 = 1$，$y_2 = 4$.
①当 $y = 1$ 时，$x^2 - 1 = 1$. 解得 $x = \pm \sqrt{2}$.
②当 $y = 4$ 时，$x^2 - 1 = 4$. 解得 $x = \pm \sqrt{5}$.
综合①②，得原方程的解为 $x_1 = \sqrt{2}$，$x_2 = -\sqrt{2}$，$x_3 = \sqrt{5}$，$x_4 = -\sqrt{5}$.
请你参考明明的思路，解方程：$x^4 - x^2 - 6 = 0$.

答案： $x_1 = \sqrt{3}$，$x_2 = -\sqrt{3}$
解析：设 $y = x^2$，原方程化为 $y^2 - y - 6 = 0$，因式分解得 $(y - 3)(y + 2) = 0$，解得 $y = 3$ 或 $y = -2$（舍）。当 $y = 3$ 时，$x^2 = 3$，解得 $x = \pm \sqrt{3}$。

【针对训练】5. 阅读下面的材料，解答下列问题.
解方程：$x^4 - 3x^2 + 2 = 0$.
解：设 $x^2 = y$，原方程变为 $y^2 - 3y + 2 = 0$. $(y - 1)(y - 2) = 0$. 解得 $y = 1$ 或 $y = 2$.
当 $y = 1$ 时，$x^2 = 1$. 解得 $x = \pm 1$.
当 $y = 2$ 时，$x^2 = 2$. 解得 $x = \pm \sqrt{2}$.
综上所述，原方程的解为 $x_1 = 1$，$x_2 = -1$，$x_3 = \sqrt{2}$，$x_4 = -\sqrt{2}$.
(1) 上述解答过程采用的数学思想方法是______.
A. 加减消元法
B. 代入消元法
C. 换元法
D. 待定系数法
(2) 采用类似的方法解方程 $(x^2 - 3x)^2 - (x^2 - 3x) - 12 = 0$.

答案：
(1) C；
(2) $x_1 = 4$，$x_2 = -1$
解析：
(1) 用 $y$ 代替 $x^2$，属于换元法，选 C。
(2) 设 $y = x^2 - 3x$，方程化为 $y^2 - y - 12 = 0$，因式分解得 $(y - 4)(y + 3) = 0$，解得 $y = 4$ 或 $y = -3$。
当 $y = 4$ 时，$x^2 - 3x - 4 = 0$，$(x - 4)(x + 1) = 0$，解得 $x = 4$ 或 $x = -1$。
当 $y = -3$ 时，$x^2 - 3x + 3 = 0$，$\Delta = 9 - 12 = -3 ＜ 0$，无实根。
综上，方程的解为 $x_1 = 4$，$x_2 = -1$。