《2025年全优点练课计划九年级数学上册人教版》

1.【易错题】用公式法解方程$6x - 8 = 5x^{2}$时，$a$，$b$，$c$的值分别是（ ）
A. $5$，$6$，$-8$
B. $5$，$-6$，$-8$
C. $5$，$-6$，$8$
D. $6$，$5$，$-8$

答案： C
解析：方程化为$5x^{2}-6x + 8 = 0$，则$a=5$，$b=-6$，$c=8$，故选C。

2. 如果关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（$a\neq0$）能用公式法求解，那么必须满足的条件是（ ）
A. $b^{2}-4ac\geq0$
B. $b^{2}-4ac\leq0$
C. $b^{2}-4ac＞0$
D. $b^{2}-4ac＜0$

答案： A
解析：公式法求解的条件是判别式非负，即$b^{2}-4ac\geq0$，故选A。

3. 一元二次方程$x^{2}-2x - 5 = 0$的解是（ ）
A. $x_{1}=1+\sqrt{6}$，$x_{2}=1-\sqrt{6}$
B. $x_{1}=2+\sqrt{6}$，$x_{2}=2-\sqrt{6}$
C. $x_{1}=1+\sqrt{5}$，$x_{2}=1-\sqrt{5}$
D. $x_{1}=2+\sqrt{5}$，$x_{2}=2-\sqrt{5}$

答案： A
解析：$x=\frac{2\pm\sqrt{4 + 20}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{24}}{2}=1\pm\sqrt{6}$，故选A。

4. 用公式法解方程$4y^{2}=12y + 3$，得到（ ）
A. $y=\frac{-3\pm\sqrt{6}}{2}$
B. $y=\frac{3\pm\sqrt{6}}{2}$
C. $y=\frac{3\pm2\sqrt{3}}{2}$
D. $y=\frac{-3\pm2\sqrt{3}}{2}$

答案： C
解析：方程化为$4y^{2}-12y - 3 = 0$，$y=\frac{12\pm\sqrt{144 + 48}}{8}=\frac{12\pm\sqrt{192}}{8}=\frac{12\pm8\sqrt{3}}{8}=\frac{3\pm2\sqrt{3}}{2}$，故选C。

5. 已知代数式$7x(x + 5)$与代数式$-4x^{2}-31x - 5$的值互为相反数，则$x=$______.

答案： $\frac{-2+\sqrt{19}}{3}$或$\frac{-2-\sqrt{19}}{3}$
解析：$7x(x + 5)-4x^{2}-31x - 5=0$，化简$3x^{2}+4x - 5 = 0$，$x=\frac{-4\pm\sqrt{16 + 60}}{6}=\frac{-4\pm\sqrt{76}}{6}=\frac{-2\pm\sqrt{19}}{3}$。

6. 用公式法解方程：
(1)$x^{2}-7x - 18 = 0$；
(2)$2x^{2}-7x + 7 = 0$；
(3)$(x + 2)^{2}=2x + 4$.

答案：
(1) $x_{1}=9$，$x_{2}=-2$
解析：$x=\frac{7\pm\sqrt{49 + 72}}{2}=\frac{7\pm11}{2}$，解得$x=9$或$x=-2$。
(2) 无实数根
解析：$\Delta=49 - 56=-7 ＜ 0$，方程无实数根。
(3) $x_{1}=0$，$x_{2}=-2$
解析：方程化为$x^{2}+2x=0$，$x=\frac{-2\pm\sqrt{4}}{2}=\frac{-2\pm2}{2}$，解得$x=0$或$x=-2$。

7. 解方程$x^{2}=3x + 2$时，有一位同学解答如下：
$\because a = 1$，$b = 3$，$c = 2$，$b^{2}-4ac = 3^{2}-4×1×2 = 1$，……①
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-3\pm1}{2}$，……②
$\therefore x_{1}=-1$，$x_{2}=-2$．……③
请你分析以上解答有无错误，如有错误，请指出错误的步骤，并写出正确的解题过程.

答案： 错误步骤①③，正确解为$x_{1}=\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$x_{2}=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$
解析：方程化为$x^{2}-3x - 2 = 0$，则$a=1$，$b=-3$，$c=-2$，$\Delta=9 + 8=17$，$x=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2}$。

8. $x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^{2}-4×3×(-1)}}{2×3}$是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A. $3x^{2}+2x - 1 = 0$
B. $2x^{2}+4x - 1 = 0$
C. $-x^{2}-2x + 3 = 0$
D. $3x^{2}-2x - 1 = 0$

答案： D
解析：公式中$a=3$，$b=-2$，$c=-1$，对应方程$3x^{2}-2x - 1 = 0$，故选D。

9. 已知$a$是一元二次方程$x^{2}-3x - 5 = 0$的较小的根，则下面对$a$的估计正确的是（ ）
A. $-2 ＜ a ＜ -1$
B. $2 ＜ a ＜ 3$
C. $-3 ＜ a ＜ -4$
D. $4 ＜ a ＜ 5$

答案： A
解析：方程根为$x=\frac{3\pm\sqrt{29}}{2}$，较小根$a=\frac{3-\sqrt{29}}{2}\approx\frac{3 - 5.385}{2}\approx-1.19$，则$-2 ＜ a ＜ -1$，故选A。

10. 关于$x$的一元二次方程$mx^{2}-(3m - 1)x - 1 + 2m = 0$，若其根的判别式的值为$1$，则$m=$______.

答案： 2
解析：$\Delta=(3m - 1)^{2}-4m(2m - 1)=m^{2}-2m + 1=1$，即$(m - 1)^{2}=1$，解得$m=2$或$m=0$，$m\neq0$，所以$m=2$。

11. 已知等腰三角形的一腰长为$x$满足方程$x^{2}-12x + 31 = 0$，其周长为$20$，则腰长$x$的值为______.

答案： $6+\sqrt{5}$
解析：$x=\frac{12\pm\sqrt{144 - 124}}{2}=6\pm\sqrt{5}$，当$x=6+\sqrt{5}$时，底边长$20 - 2x=8 - 2\sqrt{5}$，符合三角形三边关系；当$x=6-\sqrt{5}$时，底边长$20 - 2x=8 + 2\sqrt{5}$，$x + x=12 - 2\sqrt{5}＜8 + 2\sqrt{5}$，不符合，所以腰长为$6+\sqrt{5}$。