《2025年全优点练课计划九年级数学上册人教版》

【典例模型】如图，在$ \triangle ABC $中，$ D $为$ BC $的中点，以点$ D $为圆心、$ BD $长为半径画弧，交$ AC $于点$ E $．若$ \angle A = 60^\circ $，$ \angle ABC = 100^\circ $，$ BC = 4 $，则扇形$ BDE $的面积为_________．
（第1题典例模型图）

答案： $ \frac{4\pi}{9} $
解析：$ D $为$ BC $中点，$ BD = DE = 2 $。$ \angle C = 180^\circ - 60^\circ - 100^\circ = 20^\circ $，$ DE = DC $，$ \angle DEC = \angle C = 20^\circ $，$ \angle EDC = 140^\circ $，$ \angle BDE = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ $。扇形面积$ \frac{40^\circ}{360^\circ} \pi × 2^2 = \frac{4\pi}{9} $。

【针对训练】1. 如图，在$ □ ABCD $中，$ \angle B = 60^\circ $，$ \odot C $的半径为3，则图中阴影部分的面积是_________．
（第1题图）

答案： $ 3\pi $
解析：平行四边形中$ \angle B = 60^\circ $，则$ \angle BCD = 120^\circ $。扇形面积$ \frac{120^\circ}{360^\circ} \pi × 3^2 = 3\pi $。

【针对训练】2. 如图，$ AB $是$ \odot O $的直径，$ C $是$ \odot O $上一点，$ OA = 3 $，$ \angle OCA = 40^\circ $，则阴影部分的面积为_________．
（第2题图）

答案： $ \frac{5\pi}{2} $
解析：$ OA = OC = 3 $，$ \angle OAC = \angle OCA = 40^\circ $，$ \angle AOC = 100^\circ $。扇形面积$ \frac{100^\circ}{360^\circ} \pi × 3^2 = \frac{5\pi}{2} $。

【典例模型】如图，在$ □ ABCD $中，$ AD = 2 $，$ AB = 4 $，$ \angle A = 30^\circ $，以点$ A $为圆心、$ AD $长为半径画弧交$ AB $于点$ E $，连接$ CE $．求阴影部分的面积．（结果保留$ \pi $）
（第典例模型图）

答案： $ 3 - \frac{\pi}{3} $
解析：过$ D $作$ DF \perp AB $于$ F $，$ DF = AD \sin 30^\circ = 1 $，$ □ ABCD $面积$ AB × DF = 4 × 1 = 4 $。扇形$ ADE $面积$ \frac{30^\circ}{360^\circ} \pi × 2^2 = \frac{\pi}{3} $，$ BE = AB - AE = 4 - 2 = 2 $，$ \triangle BCE $面积$ \frac{1}{2} × BE × DF = 1 $。阴影面积$ 4 - \frac{\pi}{3} - 1 = 3 - \frac{\pi}{3} $。

【针对训练】3. 如图，在$ \triangle ABC $中，$ \angle ABC = 90^\circ $，以$ AB $为直径的$ \odot O $交$ AC $于点$ D $，$ E $为$ BC $的中点，连接$ OD $，$ DE $．
（1）求证：$ OD \perp DE $；
（2）若$ \angle BAC = 30^\circ $，$ AB = 8 $，求阴影部分的面积．
（第3题图）

答案： （1）见解析；（2）$ \frac{8\pi}{3} - 4\sqrt{3} $
解析：
（1）$ AB $为直径，$ \angle ADB = 90^\circ $，$ E $为$ BC $中点，$ DE = BE = CE $，$ \angle EDB = \angle EBD $。$ OD = OB $，$ \angle ODB = \angle OBD $，$ \angle OBD + \angle EBD = 90^\circ $，故$ \angle ODB + \angle EDB = 90^\circ $，$ OD \perp DE $。
（2）$ AB = 8 $，$ OB = 4 $，$ \angle BAC = 30^\circ $，$ \angle ABD = 60^\circ $，$ \triangle OBD $为等边三角形，$ \angle BOD = 60^\circ $。扇形$ OBD $面积$ \frac{60^\circ}{360^\circ} \pi × 4^2 = \frac{8\pi}{3} $，$ \triangle OBD $面积$ \frac{\sqrt{3}}{4} × 4^2 = 4\sqrt{3} $，阴影面积$ \frac{8\pi}{3} - 4\sqrt{3} $。

【针对训练】4. 如图，$ AB $是$ \odot O $的直径，$ AC $是$ \odot O $的切线，切点为$ A $，$ BC $交$ \odot O $于点$ D $，$ E $是$ AC $的中点．
（1）试判断直线$ DE $与$ \odot O $的位置关系，并说明理由；
（2）若$ \odot O $的半径为2，$ \angle B = 50^\circ $，$ AC = 6 $，求图中阴影部分的面积．
（第4题图）

答案： （1）相切，见解析；（2）$ 3 - \frac{5\pi}{9} $
解析：
（1）连接$ OD $，$ AD $。$ AC $是切线，$ \angle BAC = 90^\circ $，$ \angle ADB = 90^\circ $，$ E $为$ AC $中点，$ DE = AE $，$ \angle ADE = \angle DAE $。$ OA = OD $，$ \angle ODA = \angle OAD $，$ \angle OAD + \angle DAE = 90^\circ $，故$ \angle ODA + \angle ADE = 90^\circ $，$ DE \perp OD $，$ DE $与$ \odot O $相切。
（2）$ \angle AOD = 2\angle B = 100^\circ $，扇形$ OAD $面积$ \frac{100^\circ}{360^\circ} \pi × 2^2 = \frac{10\pi}{9} $，$ \triangle ODE $面积$ \frac{1}{2} × OD × DE = \frac{1}{2} × 2 × 3 = 3 $，阴影面积$ 3 - \frac{10\pi}{9} $（注：原题阴影部分可能为$ \triangle ODE - $扇形$ OAD $，此处按常规计算）。