《2025年全优点练课计划九年级数学上册人教版》

1. 下列是一元二次方程的是 （ ）
A. $(x - 1)(x - 3) = x^2 - 1$
B. $x^2 - 2x = 2x^2 - 1$
C. $ax^2 + bx + c = 0$
D. $x + \frac{1}{x^2} = 2$

答案： B
解析：A选项化简得$-4x + 3 = 0$，是一元一次方程；B选项化简得$-x^2 - 2x + 1 = 0$，是一元二次方程；C选项缺少$a \neq 0$的条件；D选项是分式方程。故选B。

2. 若一元二次方程$x^2 - (b - 4)x + 9 = 0$的一次项系数为2，则$b$的值为 （ ）
A. 2 B. 4 C. -2 D. 6

答案： A
解析：一次项系数为$-(b - 4)$，由题意得$-(b - 4) = 2$，解得$b = 2$。故选A。

3. 若关于$x$的方程$mx^2 + 3x = x^2 + 4$是一元二次方程，则$m$应满足的条件是________．

答案： $m \neq 1$
解析：方程整理为$(m - 1)x^2 + 3x - 4 = 0$，由一元二次方程定义得$m - 1 \neq 0$，即$m \neq 1$。

4. 填表：
一元二次方程 | 一般形式 | 二次项系数 | 一次项系数 | 常数项
---|---|---|---|---
$4x^2 + 5x = 81$ | | | |
$4x(x + 3) = 0$ | | | |
$(5 + x)(x - 5) = 0$ | | | |

答案： 一元二次方程 | 一般形式 | 二次项系数 | 一次项系数 | 常数项
---|---|---|---|---
$4x^2 + 5x = 81$ | $4x^2 + 5x - 81 = 0$ | 4 | 5 | -81
$4x(x + 3) = 0$ | $4x^2 + 12x = 0$ | 4 | 12 | 0
$(5 + x)(x - 5) = 0$ | $x^2 - 25 = 0$ | 1 | 0 | -25

5. 下列各数中是一元二次方程$x^2 + x - 12 = 0$的解的是 （ ）
A. -1 B. 1 C. 2 D. 3

答案： D
解析：解方程$x^2 + x - 12 = 0$，因式分解得$(x + 4)(x - 3) = 0$，解得$x = -4$或$x = 3$。故选D。

6. 若$x = 2$是方程$mx^2 - nx - 1 = 0$的解，则代数式$2m - n + 1$的值为________．

答案： $\frac{3}{2}$
解析：将$x = 2$代入方程得$4m - 2n - 1 = 0$，即$4m - 2n = 1$，两边除以2得$2m - n = \frac{1}{2}$，则$2m - n + 1 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$。

7. 《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙各行几何．”大意是说：“已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速率为7，乙的速率为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远？”若设相遇时甲、乙行走了$x$个单位时间，则由题意所列方程正确的是 （ ）
A. $(3x)^2 + 10^2 = (7x - 10)^2$
B. $(3x)^2 + (7x - 10)^2 = 10^2$
C. $(7x)^2 + 10^2 = (3x - 10)^2$
D. $(7x)^2 + (3x - 10)^2 = 10^2$

答案： A
解析：乙向东走的路程为$3x$，甲先向南走10步，斜向东北走的路程为$7x - 10$，根据勾股定理，乙的路程与甲向南的10步为直角边，甲斜向路程为斜边，方程为$(3x)^2 + 10^2 = (7x - 10)^2$。故选A。

8. 如图，有一张矩形纸片，长是10 cm、宽是6 cm．在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是$32\ cm^2$，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形的边长是$x\ cm$．根据题意可列方程为（ ）
（第8题图）
A. $10 × 6 - 4 × 6x = 32$
B. $(10 - 2x)(6 - 2x) = 32$
C. $(10 - x)(6 - x) = 32$
D. $10 × 6 - 4x^2 = 32$

答案： B
解析：折叠后底面的长为$10 - 2x$，宽为$6 - 2x$，面积为$(10 - 2x)(6 - 2x) = 32$。故选B。

9. 用一根30 cm长的铁丝折成一个斜边长为13 cm的直角三角形，设这个三角形的一条直角边的长为$x\ cm$，则可列方程为________，化为二次项系数为1的一般形式为________．

答案： $x^2 + (17 - x)^2 = 13^2$；$x^2 - 17x + 60 = 0$
解析：另一条直角边为$30 - 13 - x = 17 - x$，由勾股定理得$x^2 + (17 - x)^2 = 13^2$，展开化简得$x^2 - 17x + 60 = 0$。

10. 若关于$x$的方程$(a - 1)x^{|a| + 1} - 3x + 2 = 0$是一元二次方程，则 （ ）
A. $a \neq \pm 1$ B. $a = 1$ C. $a = -1$ D. $a = \pm 1$

答案： C
解析：由一元二次方程定义得$\begin{cases} |a| + 1 = 2 \\ a - 1 \neq 0 \end{cases}$，解得$|a| = 1$且$a \neq 1$，即$a = -1$。故选C。

11. 【易错题】已知关于$x$的一元二次方程$(a - 1)x^2 - 2x + a^2 - 1 = 0$有一个根为$x = 0$，则$a = $________．

答案： -1
解析：将$x = 0$代入方程得$a^2 - 1 = 0$，解得$a = \pm 1$，又因方程是一元二次方程，$a - 1 \neq 0$，即$a \neq 1$，故$a = -1$。