《2025年全优点练课计划九年级数学上册人教版》

20. （12分）如图，抛物线$y=ax^{2}+bx+\frac{3}{2}$与$x$轴交于点$A(-1,0)$和点$B(3,0)$，与$y$轴交于点$C$，点$C$关于抛物线对称轴的对称点为$D$，抛物线顶点为$H$。
（1）求抛物线的解析式。
（2）如图1，在抛物线上是否存在一点$M$（异于点$B$），使得$S_{\triangle ACB}=S_{\triangle ACM}$？若存在，请求出点$M$的坐标；若不存在，请说明理由。
（3）如图2，当点$E$在抛物线上运动时，在直线$AD$上是否存在点$F$，使得以$A$，$C$，$E$，$F$为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点$F$的坐标；若不存在，请说明理由。
21. （13分）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两个坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象的完美点。
【定义解析】例如：函数$y=\frac{1}{2}x+1$上的点$(2,2)$，$(-\frac{2}{3},\frac{2}{3})$到两个坐标轴的距离相等，我们就称点$(2,2)$，$(-\frac{2}{3},\frac{2}{3})$是函数$y=\frac{1}{2}x+1$图象的完美点。
（1）若点$(a+1,-2a)$是一次函数$y=kx+4$第四象限图象的完美点，求$k$的值；
（2）求二次函数$y=x^{2}+x-4$图象的完美点；
（3）若二次函数$y=ax^{2}-2x+c(a＞0)$的图象上有且只有一个完美点$(3,3)$，求二次函数的解析式；
（4）若二次函数$y=(x-m)^{2}+3m-2(m\geq0)$的图象上存在到两个坐标轴的距离相等且等于$m$的完美点，请直接写出$m$的值。

答案： 20. （1）代入$A(-1,0)$，$B(3,0)$得$\begin{cases}a-b+\frac{3}{2}=0\\9a+3b+\frac{3}{2}=0\end{cases}$，解得$a=-\frac{1}{2}$，$b=1$，解析式$y=-\frac{1}{2}x^{2}+x+\frac{3}{2}$。
（2）存在，$M(2,\frac{3}{2})$。
（3）$F(1,\frac{3}{2})$或$(-3,\frac{3}{2})$或$(5,-\frac{3}{2})$。
21. （1）$a+1=2a$（第四象限），$a=1$，点$(2,-2)$，$k=-3$。
（2）$(2,2)$，$(-2,2)$，$(\sqrt{4},-\sqrt{4})$（即$(2,-2)$舍，应为$(-1+\sqrt{5},-(-1+\sqrt{5}))$等，具体解为$x^{2}+x-4=\pm x$，解得$(2,2)$，$(-2,2)$，$(-1+\sqrt{5},-(-1+\sqrt{5}))$，$(-1-\sqrt{5},-(-1-\sqrt{5}))$）。
（3）$y=\frac{1}{2}x^{2}-2x+\frac{9}{2}$。
（4）$m=2$或$m=3$。