《2025年全优点练课计划九年级数学上册人教版》

1. 如图，某大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的解析式为$y=ax² + bx$，小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC. 当小强骑自行车行驶10秒和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需（ ）
A. 18秒 B. 36秒 C. 38秒 D. 46秒

答案： B
解析：抛物线对称轴$t=\frac{10 + 26}{2}=18$秒，通过OC需$2×18=36$秒，故选B。

2.【教材变式】如图1，位于山西晋城市的景德桥，是继赵州桥之后我国现存历史悠久的古代珍贵桥梁之一，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{36}x²$，正常水位时水面宽AB为36m，当水位上升5m时，水面宽CD为______m.

答案： 24
解析：原水位$y=-\frac{1}{36}×18²=-9$，上升后$y=-4$，解方程$-4=-\frac{1}{36}x²$得$x=±12$，宽$=24$m。

3. 一座隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长8m、宽2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6m，建立如图所示的平面直角坐标系.
（1）求抛物线的解析式.
（2）一辆货车高4m、宽4m，能否从该隧道内通过？为什么？

答案： （1）$y=-\frac{1}{4}(x - 4)² + 6$
解析：顶点$P(4,6)$，过$(0,2)$，设$y=a(x - 4)² + 6$，代入得$a=-\frac{1}{4}$。
（2）能通过
解析：当$x=2$或$6$时，$y=-\frac{1}{4}(4) + 6=5≥4$，故能通过。

4. 一个跳水运动员从10m高台上跳水，他每一时刻所在的高度$h$（m）与所用时间$t$（s）的关系是$h=-5(t - 2)(t + 1)$，则这名运动员从起跳到入水所用的时间是（ ）
A. 1s B. 2s C. -1s D. -5s

答案： B
解析：令$h=0$，$-5(t - 2)(t + 1)=0$，$t=2$（舍负），故选B。

5. 如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度$y$（m）与水平距离$x$（m）之间的关系是$y=-x² + 2x + \frac{5}{4}$（$x＞0$）.
（1）求水流喷出的最大高度是多少？此时的水平距离是多少？
（2）若不计其他因素，水池的半径OB至少为多长，才能使喷出的水流不落在池外？

答案： （1）$\frac{9}{4}$m，1m
解析：$y=-(x - 1)² + \frac{9}{4}$，顶点$(1,\frac{9}{4})$，最大高度$\frac{9}{4}$m，水平距离1m。
（2）2.5m
解析：令$y=0$，$-x² + 2x + \frac{5}{4}=0$，解得$x=2.5$（正根），半径至少2.5m。

6. 一位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线. 当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮筐，建立平面直角坐标系如图所示. 已知篮筐中心到地面的距离为3.05m，该运动员身高为1.9m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m处出手时，他跳离地面的高度是（ ）
A. 0.1m B. 0.2m C. 0.3m D. 0.4m

答案： A
解析：抛物线顶点$(0,3.5)$，过$(1.5,3.05)$，$y=-0.2x² + 3.5$。出手点$x=-2.5$，$y=-0.2×6.25 + 3.5=2.25$m，跳离高度$=2.25 - 1.9 - 0.25=0.1$m，选A。