《2025年名校课堂八年级数学上册青岛版》

1. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，点$D$在$AB$上，点$E$在$AC$的延长线上，且$BD = CE$，$DE$交$BC$于点$F$. 求证：$DF = EF$.

答案： 1.证明：过点D作DM//AC交BC于点M.所以∠DMB=∠ACB,∠FDM=∠E.因为AB=AC，所以∠B=∠ACB.所以∠B=∠DMB.所以BD=MD.因为BD=CE，所以MD=CE.在△DMF和△ECF中，$\begin{cases} ∠MDF=∠E \\ ∠MFD=∠CFE \\ MD=CE \end{cases}$所以△DMF≌△ECF(AAS).所以DF=EF.

2. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\angle A = 90^{\circ}$，$BE$是角平分线，$CD\perp BE$交$BE$的延长线于点$D$. 求证：$BE = 2CD$.

答案： 2.证明：延长BA,CD相交于点Q.因为∠CAQ=∠BDQ=90°，所以∠ACQ+∠Q=90°,∠ABE+∠Q=90°.所以∠ACQ=∠ABE.在△ABE和△ACQ中，$\begin{cases} ∠ABE=∠ACQ \\ AB=AC \\ ∠BAE=∠CAQ \end{cases}$所以△ABE≌△ACQ(ASA).所以BE=CQ.因为∠BAE=∠CAQ，BD平分∠ABC,∠BDC=∠BDQ=90°，所以∠Q=∠BCQ.所以BQ=BC.又因为BD⊥CQ，所以CD=DQ.所以BE=CQ=2CD.

3. 如图，在$\triangle ABC$中，已知$\angle ABC = 3\angle C$，$AD$平分$\angle BAC$，$BE\perp AD$于点$E$. 求证：$BE = \frac{1}{2}(AC - AB)$.

答案： 3.证明：延长BE交AC于点F.因为BF⊥AD，所以∠AEB=∠AEF.因为AD平分∠BAC，所以∠BAE=∠FAE.在△ABE和△AFE中，$\begin{cases} ∠AEB=∠AEF \\ AE=AE \\ ∠BAE=∠FAE \end{cases}$所以△ABE≌△AFE(ASA).所以∠ABF=∠AFB，AB=AF,BE=EF.因为∠C+∠CBF=∠AFB=∠ABF，∠ABF+∠CBF=∠ABC=3∠C，所以∠C+2∠CBF=3∠C.所以∠CBF=∠C.所以BF=CF.所以BE=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$CF.因为CF=AC-AF=AC-AB，所以BE=$\frac{1}{2}$(AC-AB).