《2025年名校课堂八年级数学上册青岛版》

【教材母题 1】（教材 P21 综合练习 T9）如图，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点 D. 求证：∠BDC = 90° + $\frac{1}{2}$∠A.
【解答】

答案： 证明：因为BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,所以$∠DBC+∠DCB=\frac{1}{2}(∠ABC+∠ACB). $因为∠ABC+∠ACB=180°-∠A,所以$∠DBC+∠DCB=\frac{1}{2}(180°-∠A).$所以$∠D=180°-(∠DBC+∠DCB)=90°+\frac{1}{2}∠A.$

1. 如图，在△ABC 中，∠A = 42°，D，E 为∠ABC 与∠ACB 三等分线的交点，则∠E = 134°，∠D = 88°.

答案： 1.134° 88°

【教材母题 2】（教材 P21 综合练习 T5）如图，∠ACE 是△ABC 的一个外角，∠ABC 的平分线交 AC 于点 F，交∠ACE 的平分线于点 D. 求证：∠D = $\frac{1}{2}$∠A.
【解答】

答案： 证明：因为BD平分∠ABC,CD平分∠ACE,所以$∠DCE=\frac{1}{2}∠ACE,∠CBD=\frac{1}{2}∠ABC.$因为∠ACE=∠A+∠ABC,∠DCE=∠D+∠CBD,所以$∠D+∠CBD=\frac{1}{2}(∠A+∠ABC)=\frac{1}{2}∠A+\frac{1}{2}∠ABC. $所以$∠D=\frac{1}{2}∠A.$

2. 如图，在△ABC 中，AB = AC，∠A = 30°，E 为 BC 延长线上一点，∠ABC 与∠ACE 的平分线相交于点 D，则∠D = 15°.

答案： 2.15°

【教材母题 3】（教材 P22 综合练习 T11）如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，分别作两个锐角的外角平分线，相交于点 D. 试探索∠D 的度数，并证明你的结论.
【解答】

答案： 解：∠D=45°. 证明：因为BD平分∠ABF,AD平分∠BAE,所以$∠DBA=\frac{1}{2}∠ABF,∠DAB=\frac{1}{2}∠BAE. $因为∠ABF=180°-∠CBA,∠BAE=180°-∠CAB, 所以$∠D=180°-∠DBA-∠DAB=180°-\frac{1}{2}(∠ABF+∠BAE)=\frac{1}{2}(∠CBA+∠CAB).$因为∠CBA+∠CAB=180°-∠C,所以$∠D=\frac{1}{2}(180°-∠C)=90°-\frac{1}{2}∠C,$所以∠D=90°-45°=45°.

3.(青岛李沧区期末)如图，点 M，N 分别在 OA，OB 上，MC 平分∠AMN，NC 平分∠BNM. 若∠AOB = 68°，则∠MCN 的度数为 56°.

答案： 3.56°