《2025年名校课堂八年级数学上册青岛版》

6. (威海中考)试卷上一个正确的式子$(\frac{1}{a + b}+\frac{1}{a - b})÷★=\frac{2}{a + b}$被小颖同学不小心滴上墨汁.被墨汁遮住部分的代数式为(A)

A.$\frac{a}{a - b}$
B.$\frac{a - b}{a}$
C.$\frac{a}{a + b}$
D.$\frac{4a}{a^{2}-b^{2}}$

答案： 6.A

7. (济宁中考)已知$m + n = - 3$，则分式$\frac{m + n}{m}÷(\frac{-m^{2}-n^{2}}{m}-2n)$的值是$\frac{1}{3}$。

答案： 7.$\frac{1}{3}$

8. (聊城月考)已知$\frac{1}{b}-\frac{1}{a}=\frac{1}{a - b}$，则$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=$3。

答案： 8.3

9. 化简：
(1) $(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})÷(\frac{1}{a^{2}}-\frac{1}{b^{2}})\cdot ab$；
(2) $(a - 1-\frac{4a - 1}{a + 1})÷\frac{a^{2}-8a + 16}{a + 1}$。

答案： 9.解：
(1)原式=$\frac{a+b}{ab}$÷$\frac{b^2-a^2}{a^2b^2}$·ab=$\frac{a+b}{ab}$·$\frac{a^2b^2}{(b-a)(b+a)}$·ab=$\frac{a^2b^2}{b-a}$.
(2)原式=[$\frac{(a-1)(a+1)-(4a-1)}{a+1}$]÷$\frac{(a-4)^2}{a+1}$=$\frac{a^2-1-4a+1}{a+1}$·$\frac{a+1}{(a-4)^2}$=$\frac{a(a-4)}{(a-4)^2}$=$\frac{a}{a-4}$.

10. 先化简，再求值：
(1) (聊城中考)$2-\frac{3x + y}{x - 2y}÷\frac{9x^{2}+6xy + y^{2}}{x^{2}-4y^{2}}$，其中$x = 3$，$y = - 4$；
(2) (菏泽中考)$(2a-\frac{12a}{a + 2})÷\frac{a - 4}{a^{2}+4a + 4}$，其中$a$满足$a^{2}+2a - 3 = 0$。

答案： 10.解：
(1)原式=2-$\frac{3x+y}{x-2y}$·$\frac{(x+2y)(x-2y)}{(3x+y)^2}$=2-$\frac{x+2y}{3x+y}$=$\frac{2(3x+y)-(x+2y)}{3x+y}$=$\frac{6x+2y-x-2y}{3x+y}$=$\frac{5x}{3x+y}$.当x=3,y=-4时，原式=$\frac{5×3}{3×3+(-4)}$=3.
(2)原式=($\frac{2a(a+2)-12a}{a+2}$)÷$\frac{a-4}{(a+2)^2}$=$\frac{2a^2+4a-12a}{a+2}$·$\frac{(a+2)^2}{a-4}$=$\frac{2a(a-4)}{a+2}$·$\frac{(a+2)^2}{a-4}$=2a(a+2)=2(a^2+2a).因为a^2+2a-3=0,所以a^2+2a=3.所以原式=2×3=6.

11. (泰安肥城市期末)先化简：$\frac{m^{2}-4m + 4}{m - 1}÷(\frac{3}{m - 1}-m - 1)$，然后再从$1$，$-1$，$2$中选一个合适的值作为$m$的值代入求值。

答案： 11.解：原式=$\frac{(m-2)^2}{m-1}$÷[$\frac{3-(m+1)(m-1)}{m-1}$]=$\frac{(m-2)^2}{m-1}$÷$\frac{3-(m^2-1)}{m-1}$=$\frac{(m-2)^2}{m-1}$·$\frac{m-1}{-(m^2-4)}$=$\frac{(m-2)^2}{-(m+2)(m-2)}$=-$\frac{m-2}{m+2}$.由题意得m-1≠0,m+2≠0,m-2≠0,所以m≠1,m≠-2,m≠2.所以m=-1.当m=-1时，原式=-$\frac{-1-2}{-1+2}$=-3.

12. (教材P71习题T11变式)小刚家和小丽家到学校的路程都是$3km$，其中小丽走的是平路，速度为$2vkm/h$.小刚需要走$1km$的上坡路、$2km$的下坡路，在上坡路上的速度为$vkm/h$，在下坡路上的速度为$3vkm/h$.
(1) 小刚从家到学校需要多长时间？
(2) 小刚和小丽谁在路上花费的时间更少？少用多长时间？

答案： 12.解：
(1)因为小刚走上坡路的时间为$\frac{1}{v}h$,走下坡路的时间为$\frac{2}{3v}h$,所以小刚从家到学校需要的时间为$\frac{1}{v}+\frac{2}{3v}=\frac{5}{3v}(h)$.
(2)小丽花费的时间为$\frac{3}{2v}h$,因为$\frac{5}{3v}-\frac{3}{2v}=\frac{10}{6v}-\frac{9}{6v}=\frac{1}{6v}(h)$,所以小丽花费的时间更少，少用了$\frac{1}{6v}h$.