《2025年名校课堂八年级数学上册青岛版》

1. 如图，点 A，B，D，E 在同一条直线上，AB=DE，AC//DF，BC//EF. 求证：BC=EF.

答案： 1.证明：因为 AC//DF，BC//EF，所以 ∠A = ∠FDE，∠CBA = ∠E。在△ABC 和△DEF 中，$\begin{cases}∠CBA = ∠E, \\AB = DE, \\∠A = ∠FDE,\end{cases} $所以 △ABC≌△DEF(ASA)。所以 BC = EF。

2. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，BC=DC，E 为 AC 上的一点. 求证：
（1）AC 平分∠DAB；
（2）BE=DE.

答案： 2.证明：
(1)在△ADC 和△ABC 中，$\begin{cases}AB = AD, \\AC = AC, \\BC = DC,\end{cases} $所以 △ABC≌△ADC(SSS)。所以 ∠BAE = ∠DAE。所以 AC 平分∠DAB。
(2)在△ABE 和△ADE 中，$\begin{cases}AB = AD, \\∠BAE = ∠DAE, \\AE = AE,\end{cases} $所以 △ABE≌△ADE(SAS)。所以 BE = DE。

3. 如图，在△ABC 中，AD 是边 BC 上的中线，E，F 为直线 AD 上的点，连接 BE，CF，且 BE//CF.
（1）求证：△BDE≌△CDF；
（2）若 AE=13，AF=7，求 DE 的长.

答案： 3.解：
(1)证明：因为 AD 是边 BC 上的中线，所以 BD = CD。因为 BE//CF，所以 ∠DBE = ∠DCF。在△BDE 和△CDF 中，$\begin{cases}∠DBE = ∠DCF, \\BD = CD, \\∠BDE = ∠CDF,\end{cases} $所以 △BDE≌△CDF(ASA)。
(2)因为 AE = 13，AF = 7，所以 EF = AE - AF = 13 - 7 = 6。由
(1)知，△BDE≌△CDF，所以 DE = DF。因为 DE + DF = EF = 6，所以 DE = 3。

4. 已知在△ABC 和△CDE 中，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AE 与 BD 相交于点 F.
(1)如图 1，当α=90°时，求证：
①△ACE≌△BCD；
②AE⊥BD；
(2)如图 2，当α=60°时，∠AFB 的度数为60°；
(3)∠AFB 的度数为α.(用含α的式子表示)

答案： 4.解：
(1)证明：①因为 ∠ACB = ∠DCE = 90°，所以 ∠ACB + ∠BCE = ∠DCE + ∠BCE，即 ∠ACE = ∠BCD。在△ACE 和△BCD 中，$\begin{cases}AC = BC, \\∠ACE = ∠BCD, \\CE = CD,\end{cases} $所以 △ACE≌△BCD(SAS)。②由①知 △ACE≌△BCD，所以 ∠CAE = ∠CBD。因为 ∠CAE + ∠EAB + ∠ABC = 90°，所以 ∠CBD + ∠EAB + ∠ABC = 90°。所以 ∠AFB = 90°。所以 AE⊥BD。
(2)60°
(3)α