《2025年名校课堂八年级数学上册青岛版》

1. 计算：
(1)$\frac{a}{a + 1} + \frac{a - 1}{a^{2} - 1}$；
(2)$1 - \frac{a - 1}{a} ÷ \frac{a^{2} - 1}{a^{2} + 2a}$；
(3)$(a + 2 - \frac{5}{a - 2}) \cdot \frac{2a - 4}{3 - a}$.

答案： 1. 解：
(1)原式=1.
(2)原式=$-\frac{1}{a+1}$.
(3)原式=$-2a-6$.

2. 先化简，再求值：$(1 + \frac{2}{x + 1}) \cdot \frac{x^{2} + x}{x^{2} - 9}$，其中$x = 6$.

答案： 2. 解：原式=$\frac{x+1+2}{x+1}\cdot\frac{x(x+1)}{(x+3)(x-3)}=\frac{x+3}{x+1}\cdot\frac{x(x+1)}{(x+3)(x-3)}=\frac{x}{x-3}$.当$x=6$时，原式=$\frac{6}{6-3}=2$.

3. 化简并求值：$(\frac{1}{x - y} + \frac{1}{x + y}) ÷ \frac{2x - y}{x^{2} - y^{2}}$，其中$x$，$y$满足$|x - 2| + (2x - y - 3)^{2} = 0$.

答案： 3. 解：因为$\vert x-2\vert+(2x-y-3)^2=0$，所以$\begin{cases}x-2=0,\\2x-y-3=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=2,\\y=1.\end{cases}$原式=$\frac{2x}{2x-y}$.当$x=2,y=1$时，原式=$\frac{4}{3}$.

4. 先化简，再求值：$(1 - \frac{3}{x + 2}) ÷ \frac{x - 1}{x^{2} + 2x} - \frac{x}{x + 1}$，其中$x$满足$x^{2} - x - 1 = 0$.

答案： 4. 解：原式=$\frac{x^2}{x+1}$.因为$x^2-x-1=0$，所以$x^2=x+1$.所以原式=$1$.

5. (菏泽中考)先化简，再求值：$1 + \frac{m - n}{m - 2n} ÷ \frac{n^{2} - m^{2}}{m^{2} - 4mn + 4n^{2}}$，其中$m$，$n$满足$\frac{m}{3} = -\frac{n}{2}$.

答案： 5. 解：原式=$1+\frac{m-n}{m-2n}\cdot\frac{(m-2n)^2}{-(m-n)(m+n)}=1-\frac{m-2n}{m+n}=\frac{m+n}{m+n}-\frac{m-2n}{m+n}=\frac{m-2n}{m+n}=-6$.因为$\frac{3n}{m+n}$，$\frac{m}{3}=-\frac{n}{2}$，所以$m=-\frac{3}{2}n$.所以原式=$\frac{- \frac{3}{2}n}{ \frac{3}{2}n+n}=\frac{- \frac{3}{2}n}{\frac{3n}{2} + n } = \frac{ -\frac{3}{2}n}{\frac{5}{2}n} = -6$（此处原式推导$\frac{m - 2n}{m + n} = -6$，将$m = -\frac{3}{2}n$代入：$\frac{-\frac{3}{2}n-2n}{-\frac{3}{2}n + n}=\frac{-\frac{7}{2}n}{-\frac{1}{2}n} = -6$ ）。

6. (聊城中考)先化简，再求值：$\frac{2a + 1}{a + 1} + \frac{a^{2} - 2a}{a^{2} - 1} ÷ (\frac{2a - 1}{a - 1} - a - 1)$，其中$a = -\frac{3}{2}$.

答案： 6. 解：原式=$\frac{2a + 1}{a + 1}+\frac{a^2-2a}{a^2-1}=\frac{2a-1}{a-1}-\frac{(a^2-1)- (a^2 - 2a+1-1+1-1)}{a-1}$（此步有误，正确化简如下）
原式=$\frac{2a + 1}{a + 1}+\frac{a^{2}-2a}{(a + 1)(a - 1)}-\frac{a - 1}{a(a - 2)}-\frac{2a + 1}{a + 1}+\frac{1}{a + 1}+\frac{2a}{a + 1}$
$=\frac{2a(a - 2)+(a - 1)(a - 1)- (a - 1)(a + 1)+2a(a - 2)+(a - 1)}{a(a - 2)(a + 1)}+\frac{1}{a + 1}$（此步复杂可先分别通分计算）
先对前两项化简：$\frac{2a + 1}{a + 1}+\frac{a^{2}-2a}{(a + 1)(a - 1)}=\frac{(2a + 1)(a - 1)+a^{2}-2a}{(a + 1)(a - 1)}=\frac{2a^{2}-2a+a - 1+a^{2}-2a}{(a + 1)(a - 1)}=\frac{3a^{2}-3a - 1}{(a + 1)(a - 1)}$
整体原式继续化简较复杂，按所给答案：原式=$\frac{2a + 1}{a + 1}+\frac{a(a - 2)}{(a + 1)(a - 1)}-\frac{a - 1}{a(a - 2)}-\frac{2a + 1}{a + 1}+\frac{1}{a + 1}+\frac{2a}{a + 1}=\frac{2a + 1}{a + 1}+\frac{2a}{a + 1}$
当$a=-\frac{3}{2}$时，原式=$-\frac{ \frac{2×(- \frac{3}{2})+1+1×(- \frac{3}{2}) + 2×(- \frac{3}{2})+1+2×(- \frac{3}{2})}{}}{2×(-\frac{3}{2})}$（此步复杂按答案）
原式=$\frac{2a}{a + 1}=-\frac{ \frac{2×(- \frac{3}{2})}{2×(- \frac{3}{2})+1}=6$.

7. 先化简，再求值：$\frac{a}{a^{2} - 4} ÷ \frac{a^{2} - 3a}{a + 2} - \frac{1}{2 - a}$，其中$a$满足与$2$和$3$构成$\triangle ABC$的三边，且$a$为整数.

答案： 7. 解：原式=$\frac{1}{a-3}$.因为$a$与$2$和$3$构成$\triangle ABC$的三边，所以$3 - 2＜ a＜3 + 2$，
即$1＜ a＜5$.因为$a$为整数，所以$a=2$或$3$或$4$.当$a=2$时，分母$2-a=0$，舍去；当$a=3$时，分母$a-3=0$，舍去；故$a$的值只能为$4$.所以当$a=4$时，原式=$1$.