《2025年名校课堂八年级数学上册青岛版》

13. (10 分)(1)判断下列语句是不是命题,若是,写成“如果……,那么……”的形式,并判断其是真命题还是假命题.
① 延长 $ BA $ 到点 $ C $;
② 同角的补角相等;
(2)举反例说明下列命题是假命题:
① 相等的角是同位角;
② 大于 $ 90^{\circ} $ 的角为钝角.

答案： 13.解：
(1)①不是命题. ②是命题，且是真命题，写成“如果……，那么……”的形式为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等.
(2)①反例：对顶角相等，但不是同位角. ②反例：180°的角不是钝角.

14. (10 分)如图,$ AD \perp BC $ 于点 $ D $,$ EG \perp BC $ 于点 $ G $,$ \angle E = \angle 1 $. 求证:$ AD $ 平分 $ \angle BAC $.
下面是部分推理过程,请你将其补充完整:
因为 $ AD \perp BC $ 于点 $ D $,$ EG \perp BC $ 于点 $ G $(已知),
所以 $ \angle ADC = \angle EGC = 90^{\circ} $.
所以 $ AD // EG $(同位角相等，两直线平行).
所以 $ \angle 1 = \angle 2 $(两直线平行，内错角相等),∠E $ = \angle 3 $(两直线平行，同位角相等).
又因为 $ \angle E = \angle 1 $(已知),
所以 $ \angle 2 = \angle 3 $(等量代换).
所以 $ AD $ 平分 $ \angle BAC $(角平分线的定义).

答案： 14.同位角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等 ∠E 两直线平行，同位角相等等量代换 角平分线的定义

15. (12 分)将一副三角板拼成如图所示的图形,过点 $ C $ 作 $ CF $ 平分 $ \angle DCE $ 交 $ DE $ 于点 $ F $.
(1)求证:$ CF // AB $;
(2)求 $ \angle DFC $ 的度数.

答案： 15.解：
(1)证明：因为CF平分∠DCE，所以$∠1=∠2=\frac{1}{2}∠DCE. $因为∠DCE=90°，所以∠1=45°. 因为∠3=45°，所以∠1=∠3. 所以AB//CF(内错角相等，两直线平行).
(2)因为∠D=30°，∠1=45°，所以∠DFC=180°-30°-45°=105°.

16. (14 分)如图所示的格线互相平行,小明在格线中作已知角,探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系,他先作出 $ \angle AOB = 60^{\circ} $.
(1)① 如图 1,点 $ O $ 在一条格线上,当 $ \angle 1 = 20^{\circ} $ 时,$ \angle 2 = $40°;
② 如图 2,点 $ O $ 在两条格线之间,用等式表示 $ \angle 1 $ 与 $ \angle 2 $ 之间的数量关系,并说明理由;
(2)在图 3 中,小明作射线 $ OC $,使得 $ \angle COB = 45^{\circ} $. 记 $ OA $ 与图中一条格线形成的锐角为 $ \alpha $,$ OC $ 与图中另一条格线形成的锐角为 $ \beta $,请直接用等式表示 $ \alpha $ 与 $ \beta $ 之间的数量关系.

答案： 16.解：
(1)①40° ②∠1+∠2=60°. 理由：作OP平行于格线. 因为格线互相平行，所以∠1=∠AOP，∠2=∠BOP. 因为∠AOB=∠AOP+∠BOP=60°，所以∠1+∠2=60°.
(2)α+β=105°或α-β=15°.