《2025年名校课堂八年级数学上册青岛版》

6. 如图，点 $ C $，$ F $ 在线段 $ BE $ 上，$ BF = EC $，$ \angle 1 = \angle 2 $，$ AC = DF $，求证：$ \triangle ABC \cong \triangle DEF $.

答案： 6.证明：因为 BF = EC，所以 BF - CF = EC - CF，即 BC = EF. 在△ABC 和△DEF 中，$\begin{cases} AC = DF, \\ ∠1 = ∠2, \\ BC = EF, \end{cases}$所以△ABC ≌ △DEF(SAS).

7. （铜仁中考）如图，点 $ C $ 在 $ BD $ 上，$ AB \perp BD $，$ ED \perp BD $，$ AC \perp CE $，$ AB = CD $. 求证：$ \triangle ABC \cong \triangle CDE $.

答案： 7.证明：因为 AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，所以∠B = ∠D = ∠ACE = 90°. 所以∠DCE + ∠DEC = 90°，∠BCA + ∠DCE = 90°. 所以∠BCA = ∠DEC. 在△ABC 和△CDE 中，$\begin{cases} ∠BCA = ∠DEC, \\ ∠B = ∠D, \\ AB = CD, \end{cases}$所以△ABC ≌ △CDE(AAS).

8. 新考向 开放性问题 如图，在 $ \triangle ABC $ 与 $ \triangle DEF $ 中，$ \angle B = \angle E = 90° $，点 $ B $，$ F $，$ C $，$ E $ 在一条直线上，$ AB = DE $. 要使 $ \triangle ABC \cong \triangle DEF $，给出下列三个条件：① $ AC = DF $；② $ \angle A = \angle D $；③ $ BF = CE $. 请从以上三个条件中选择一个合适的条件并证明 $ \triangle ABC \cong \triangle DEF $.（图形中不得添加任何字母）

答案： 8.解：选择①，证明如下：因为∠B = ∠E = 90°，所以△ABC 与△DEF 均为直角三角形. 在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，$\begin{cases} AC = DF, \\ AB = DE, \end{cases}$所以 Rt△ABC ≌ Rt△DEF(HL). 选择②，证明如下：在△ABC 和△DEF 中，$\begin{cases} ∠A = ∠D, \\ AB = DE, \\ ∠B = ∠E, \end{cases}$所以△ABC ≌ △DEF(ASA). 选择③，证明如下：因为 BF = CE，所以 BC = EF. 在△ABC 和△DEF 中，$\begin{cases} AB = DE, \\ ∠B = ∠E, \\ BC = EF, \end{cases}$所以△ABC ≌ △DEF(SAS).

9. 如图，已知 $ \angle BDC = \angle CEB = 90° $，$ BE $，$ CD $ 相交于点 $ O $，且 $ AO $ 平分 $ \angle BAC $. 求证：
（1）$ \triangle ADO \cong \triangle AEO $；
（2）$ \triangle BDO \cong \triangle CEO $.

答案： 9.证明：
(1)因为 AO 平分∠BAC，所以∠DAO = ∠EAO. 因为∠BDC = ∠CEB = 90°，所以∠ADO = ∠AEO = 90°. 在△ADO 和△AEO 中，$\begin{cases} ∠ADO = ∠AEO, \\ ∠DAO = ∠EAO, \\ AO = AO, \end{cases}$所以△ADO ≌ △AEO(AAS).
(2)因为△ADO ≌ △AEO，所以 DO = EO. 在△BDO 和△CEO 中，$\begin{cases} ∠BDO = ∠CEO, \\ DO = EO, \\ ∠DOB = ∠EOC, \end{cases}$