《2025年名校课堂八年级数学上册青岛版》

16. （10分）先化简，再求值：
（1）$(\dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{1}{x + 1}) \cdot (x - 1)$，其中$x = 2$；
（2）$(a + \dfrac{1}{a + 2}) ÷ (a - 2 + \dfrac{3}{a + 2})$，其中$a - 2 = 0$；

答案： 16.解：
(1)原式$=\frac{2}{x + 1}，$当x = 2时，原式$=\frac{2}{3}. (2)$原式$=\frac{a + 1}{a - 1}，$当a - 2 = 0，即a = 2时，原式=3.

17. （8分）已知$\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y} = 2$，求$\dfrac{3x - 14xy - 3y}{x - 2xy - y}$的值。

答案： 17.解：由$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=2，$得$\frac{y - x}{xy}=2，$即y - x = 2xy，所以原式$=\frac{3(x - y)-14xy}{(x - y)-2xy}=\frac{-3×2xy - 14xy}{-2xy - 2xy}=\frac{-20xy}{-4xy}=5.$

18. （8分）如图，“优选1号”水稻的试验田是边长为$a\ m(a ＞ 1)$的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分；“优选2号”水稻的试验田是边长为$(a - 1)\ m$的正方形，两块试验田都收获了600 kg水稻。“优选2号”水稻的单位面积产量是“优选1号”水稻的单位面积产量的多少倍？

答案： 19.解：$(1)-5 (2)-13 (3)\because\frac{ax + b}{x + c}=\frac{ax + ac - ac + b}{x + c}=a+\frac{b - ac}{x + c}，$$\therefore m = b - ac.(4)x = -4$或-2或0或2.

19. (14分)阅读材料：
通过小学的学习，我们知道，$\dfrac{8}{3} = \dfrac{6 + 2}{3} = 2 + \dfrac{2}{3} = 2\dfrac{2}{3}$，在分式中，类似地，$\dfrac{2x + 4}{x + 1} = \dfrac{2x + 2 + 2}{x + 1} = \dfrac{2(x + 1) + 2}{x + 1} = 2 + \dfrac{2}{x + 1}$。
探索：
(1)若$\dfrac{3x - 2}{x + 1} = 3 + \dfrac{m}{x + 1}$，则$m =$-5；
(2)若$\dfrac{5x - 3}{x + 2} = 5 + \dfrac{m}{x + 2}$，则$m =$-13；
总结：
(3)若$\dfrac{ax + b}{x + c} = a + \dfrac{m}{x + c}$(其中$a$，$b$，$c$为常数)，求$m$的值(用含$a$，$b$，$c$的代数式表示)；
应用：
(4)利用上述结论解决问题：若代数式$\dfrac{2x - 1}{x + 1}$的值为整数，直接写出满足条件的整数$x$的值。

答案： 19.解：$(1)-5 (2)-13 (3)\because\frac{ax + b}{x + c}=\frac{ax + ac - ac + b}{x + c}=a+\frac{b - ac}{x + c}，$$\therefore m = b - ac.(4)x = -4$或-2或0或2.