《2025年名校课堂八年级数学上册青岛版》

1. 如图，$AB\perp BD$，$CD\perp BD$，$AD = BC$，则能直接判定$Rt\triangle ABD\congRt\triangle CDB$的依据是(A)

A.$HL$
B.$ASA$
C.$SAS$
D.$SSS$

答案： 1.A

2. 如图，$AC\perp BD$于点$P$，$AP = CP$，添加一个条件，能利用“$HL$”判定$\triangle ABP\cong\triangle CDP$的条件是AB=CD。

答案： 2.AB=CD

3. 如图，在四边形$ABCD$中，$CD = CB$，$\angle B=\angle D = 90^{\circ}$，$\angle BAC = 55^{\circ}$，则$\angle BCD$的度数为70°。

答案： 3.70°

4. 如图，小明和小芳以相同的速度分别从点$A$，$B$同时出发，小明沿$AC$行走，小芳沿$BD$行走，并同时到达点$C$，$D$。若$CB\perp AB$，$DA\perp AB$，则$CB$与$DA$相等吗？为什么？

答案： 4.解:相等.理由:由题意知AC=BD.因为CB⊥AB,DA⊥AB,所以∠DAB=∠CBA=90°.在Rt△DAB和Rt△CBA中，$\begin{cases} BD=AC \\ AB=BA \end{cases}$，所以Rt△DAB≌Rt△CBA(HL).所以DA=CB.

5. 如图，点$C$，$E$，$B$，$F$在同一条直线上，$AB\perp CF$于点$B$，$DE\perp CF$于点$E$，$AC = DF$，$AB = DE$。求证：$AC// DF$。

答案： 5.证明:因为AB⊥CF，DE⊥CF,所以∠ABC=∠DEF=90°.在Rt△ABC和Rt△DEF中，$\begin{cases} AC=DF \\ AB=DE \end{cases}$，所以Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).所以∠C=∠F.所以AC//DF.

6. 下列说法正确的是(D)

A.两个锐角对应相等的两个直角三角形全等
B.一个锐角和两条边对应相等的两个三角形全等
C.两条边和其中一条边的对角对应相等的两个三角形全等
D.两条直角边对应相等的两个直角三角形全等

答案： 6.D

7. 如图，$AC\perp AB$，$BD\perp CD$，请添加一个条件，使$\triangle ABC\cong\triangle DCB$。若利用“$HL$”判定，则添加的条件是AB=DC(或AC=DB)；若利用“$AAS$”判定，则添加的条件是∠ABC=∠DCB(或∠ACB=∠DBC)。

答案： 7.AB=DC(或AC=DB)　∠ABC=∠DCB(或∠ACB=∠DBC)

8. 新考向 过程性学习 如图，$AD$为$\triangle ABC$的高，$E$为$AC$上一点，$BE$交$AD$于点$F$，且有$BF = AC$，$FD = CD$。求证：$\angle DAC=\angle DBF$。
证明：因为$AD\perp BC$，
所以$\angle ADB=\angle ADC = 90^{\circ}$。
在$\triangle BFD$和$\triangle ACD$中，
$\begin{cases}BF = AC, \\FD = CD, \\\angle BDF=\angle ADC,\end{cases}$
所以$\triangle BFD\cong\triangle ACD$。
所以$\angle DAC=\angle DBF$。
上面的证明过程正确吗？如果不正确，说明错在哪里，并写出正确的证明过程。

答案： 8.解:不正确.三角形全等的判定方法中没有“SSA”.正确的证明过程:因为AD ⊥BC,所以∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△BFD和Rt△ACD中，$\begin{cases} BF=AC \\ FD=CD \end{cases}$，所以Rt△BFD≌Rt△ACD(HL).所以∠DAC=∠DBF.