《2025年名校课堂八年级数学上册青岛版》

15. 新考向 数学文化(多项选择题)勾股定理被誉为“几何明珠”，如图是我国古代著名的“赵爽弦图”，它由 4 个全等的直角三角形拼成，已知大正方形面积为 25，小正方形面积为 1. 若用 $ a $，$ b $ 表示直角三角形的两直角边($ a ＞ b $)，则下列结论正确的是(ABC)


A.$ a^{2} + b^{2} = 25 $
B.$ a - b = 1 $
C.$ ab = 12 $
D.$ a + b = 5 $

答案： 15.ABC

16. (菏泽月考)已知直角三角形的两直角边长分别为 5 cm 和 12 cm，则斜边上的高为60/13cm.

答案： 16.$\frac{60}{13}$

17. (聊城阳谷县月考)如图，在边长为 1 的小正方形网格中，点 $ A $，$ B $，$ C $，$ D $ 均在格点上，$ P $ 为 $ CD $ 上任意一点，则 $ PB^{2} - PA^{2} $ 的值为12.

答案： 17.12

18. (聊城外国语学校月考)如图，在四边形 $ ABCD $ 中，$ AB = 13 $，$ BC = 5 $，$ CD = 15 $，$ AD = 9 $，对角线 $ AC \perp BC $.
(1)求 $ AC $ 的长；
(2)求四边形 $ ABCD $ 的面积.

答案： 18.解：
(1)因为$AB = 13$，$BC = 5$，$AC\perp BC$，所以$AC = \sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}} = 12$。
(2)因为$AC = 12$，$CD = 15$，$AD = 9$，所以$CD^{2}=AC^{2}+AD^{2}$.所以$\triangle ADC$是直角三角形，且$\angle CAD = 90^{\circ}$.所以$S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}BC\cdot AC+\frac{1}{2}AD\cdot AC=\frac{1}{2}×5×12+\frac{1}{2}×9×12 = 84$。

19. 新考向 跨学科 亮亮读了《曹冲称象》的故事后深受启发，他利用排水法测出了正方体物块的体积(即物块的体积等于排出的水的体积).如图，他将一个正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中(绳子的体积忽略不计)，水溢出至另一个量筒中，测得溢出的水的体积为 $ 50 cm^{3} $. 由此，可估计该正方体物块的棱长在(C)


A.1 cm 和 2 cm 之间
B.2 cm 和 3 cm 之间
C.3 cm 和 4 cm 之间
D.4 cm 和 5 cm 之间

答案： 19.C

20. 新考向 数学文化 魔方又叫魔术方块，也称鲁比克方块，是匈牙利布达佩斯建筑学院的厄尔诺·鲁比克教授在 1974 年发明的. 魔方与中国人发明的“华容道”、法国人发明的“独立钻石”一同被称为智力游戏界的“三大不可思议”. 如图所示的是一个 4 阶魔方，又称“魔方的复仇”，由四层完全相同的 64 个小正方体组成，体积为 $ 64 cm^{3} $.
(1)求组成这个魔方的小立方体的棱长；
(2)图中阴影部分是一个正方形，则该正方形的面积为10$ cm^{3} $，边为长√10cm.

答案： 20.解：
(1)组成这个魔方的小正方体的棱长为$\sqrt[3]{64÷64}=1(cm)$。
(2)10 $\sqrt{10}$