《2025年名校课堂八年级数学上册青岛版》

5. 在直线 m 上依次取互不重合的三个点 D，A，E，在直线 m 上方有 AB=AC，且满足∠BDA=∠AEC=∠BAC=α.
(1)如图 1，当α=60°时，猜想线段 DE，BD，CE 之间的数量关系是DE = BD + CE；
(2)如图 2，当 0°＜α＜180°时，问题(1)中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

答案： 5.解：
(1)DE = BD + CE
(2)DE = BD + CE 仍然成立。证明如下：因为 ∠BDA = ∠BAC = α，所以 ∠BAD + ∠EAC = ∠BAD + ∠DBA = 180° - α。所以 ∠DBA = ∠EAC。在△DBA 和△EAC 中，$\begin{cases}∠BDA = ∠AEC, \\∠DBA = ∠EAC, \\AB = CA,\end{cases} $所以 △DBA≌△EAC(AAS)。所以 BD = AE，AD = CE。所以 DE = AE + AD = BD + CE。

6.(教材 P36 练习 T2 变式)
如图，在四边形 ABDC 中，AB=AC，∠BAC=90°，BD⊥AD 于点 D，CE⊥AD 于点 E. 若 AE=2，ED=3，则四边形 ABDC 的面积为17.5.

答案： 6.17.5

7. 已知在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，直线 MN 经过点 C，且 AD⊥MN 于点 D，BE⊥MN 于点 E.
（1）当直线 MN 处在图 1 的位置时，求证：
①△ADC≌△CEB；
②DE=AD+BE；
（2）当直线 MN 处在图 2 的位置时，直接写出 DE，AD，BE 之间的数量关系.

答案： 7.解：
(1)证明：①因为 AD⊥MN，BE⊥MN，所以 ∠ADC = ∠CEB = ∠ACB = 90°。所以 ∠ACD + ∠BCE = ∠CBE + ∠BCE = 90°。所以 ∠ACD = ∠CBE。在△ADC 和△CEB 中，$\begin{cases}∠ADC = ∠CEB, \\∠ACD = ∠CBE, \\AC = CB,\end{cases} $所以 △ADC≌△CEB(AAS)。②由①知，△ADC≌△CEB，所以 CE = AD，CD = BE。所以 DE = CE + CD = AD + BE。
(2)DE = AD - BE。