《2025年名校课堂八年级数学上册青岛版》

1. (益阳中考)如图,在$\triangle ABC$中,$AC$的垂直平分线交$AB$于点$D$,$CD$平分$\angle ACB$.若$\angle A = 50^{\circ}$,则$\angle B$的度数为 (B)


A.$25^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$35^{\circ}$
D.$40^{\circ}$

答案： 1.B

2. 如图,已知在$\triangle ABC$中,$AD$是$\angle BAC$的平分线,$AD$的垂直平分线交$BC$的延长线于点$F$. 求证:$\angle BAF=\angle ACF$.

答案： 2.证明：因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD = ∠DAC.因为FE是AD的垂直平分线，所以FA = FD.所以∠FAD = ∠FDA.因为∠BAF = ∠FAD + ∠BAD,∠ACF = ∠FDA + ∠DAC，所以∠BAF = ∠ACF.

3. 如图所示,在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AB = 2AC$,$AD$为$\angle BAC$的平分线. 求证:点$D$在线段$AB$的垂直平分线上.

答案： 3.证明：作DE⊥AB于点E，则∠AED = 90°.因为∠C = 90°，所以∠AED = ∠C.因为AD为∠BAC的平分线，所以∠EAD = ∠CAD.在△AED和△ACD中，$\begin{cases} \angle AED = \angle C, \\ \angle EAD = \angle CAD, \\ AD = AD, \end{cases}$所以△AED≌△ACD(AAS).所以AE = AC.因为AB = 2AC，所以AB = 2AE.所以BE = AE.又因为DE⊥AB，所以DE是线段AB的垂直平分线，即点D在线段AB的垂直平分线上.

4. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle A = 60^{\circ}$,$D$是边$BC$的中点,$DE\perp BC$,$\angle ABC$的平分线$BF$交$DE$于$\triangle ABC$内一点$P$,连接$PC$.
(1)若$\angle ACP = 24^{\circ}$,求$\angle ABP$的度数;
(2)若$\angle ACP = m^{\circ}$,$\angle ABP = n^{\circ}$,请直接写出$m$,$n$满足的关系式:m + 3n = 120.

答案： 4.解：
(1)因为D是边BC的中点，DE⊥BC，所以PB = PC.所以∠PBC = ∠PCB.因为BP平分∠ABC，所以∠PBC = ∠ABP.所以∠PBC = ∠PCB = ∠ABP.因为∠A = 60°,∠ACP = 24°，所以∠PBC + ∠PCB + ∠ABP = 180° - 60° - 24°.所以3∠ABP = 96°.所以∠ABP = 32°.
(2)m + 3n = 120

5. 如图,$C$,$D$是$AB$的垂直平分线上两点,延长$AC$,$DB$交于点$E$,$AF// BC$交$DE$于点$F$. 求证:
(1)$AB$是$\angle CAF$的平分线;
(2)$\angle FAD = \angle E$.

答案： 5.证明：
(1)因为C是AB的垂直平分线上的点，所以CB = CA.所以∠CBA = ∠CAB.因为AF//BC交DE于点F，所以∠BAF = ∠CBA.所以∠BAF = ∠CAB，即AB是∠CAF的平分线.
(2)因为D是AB的垂直平分线上的点，所以DB = DA.所以∠DBA = ∠DAB.因为∠DBA = ∠E + ∠CAB,∠DAB = ∠FAD + ∠BAF,∠CAB = ∠BAF，所以∠E = ∠FAD.