《2025年名校课堂八年级数学上册青岛版》

1. 用反证法证明“若 $ab = 0$，则 $a$，$b$ 中至少有一个为 $0$”时，第一步应假设(B)

A.$a = 0$，$b = 0$
B.$a \neq 0$，$b \neq 0$
C.$a \neq 0$，$b = 0$
D.$a = 0$，$b \neq 0$

答案： 1.B

2.(教材 P18 练习 T1 变式)用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①$\angle A+\angle B+\angle C = 90^{\circ}+90^{\circ}+\angle C＞180^{\circ}$，这与三角形内角和为 $180^{\circ}$ 相矛盾，$\angle A=\angle B = 90^{\circ}$ 不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角($\angle A$，$\angle B$，$\angle C$)中有两个直角，不妨设 $\angle A=\angle B = 90^{\circ}$。正确顺序的序号为(D)

A.③②①
B.①③②
C.②③①
D.③①②

答案： 2.D

3. 如图，直线 $l_{1}$，$l_{2}$，$l_{3}$ 在同一平面内，且 $l_{1}// l_{2}$，$l_{3}$ 与 $l_{1}$ 相交于点 $P$。求证：$l_{3}$ 与 $l_{2}$ 相交。

证明：假设l₃与l₂不相交，即l₃$//$l₂。
又因为l₁$//$l₂(已知)，
所以过直线 $l_{2}$ 外一点 $P$ 有两条直线 $l_{1}$，$l_{3}$ 与直线 $l_{2}$ 平行。
这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾，
所以假设不成立。
所以l₃与l₂相交。

答案： 3.l₃与l₂不相交，l₃//l₂，l₁，l₂，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，l₃与l₂相交

4. 求证：如果两个整数的积是偶数，那么这两个整数中至少有一个是偶数。

答案： 4.证明:假设这两个整数都是奇数，其中一个奇数为2n+1,另一个奇数为2p+1(n,p均为整数),则(2n+1)(2p+1)=2(2np+n+p)+1.因为无论n,p取何值，2(2np + n + p) + 1都是奇数，这与已知中这两个整数的积是偶数相矛盾，所以假设不成立。所以这两个整数中至少有一个是偶数。

5. 用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

答案：
5.已知:如图,∠1是△ABC的一个外角.求证:∠1=∠A+∠B.证明:假设∠1≠∠A+∠B,在△ABC中,∠A+∠B+∠2=180°,所以∠A+∠B=180°−∠2.因为∠1+∠2=180°,所以∠1=180°−∠2.所以∠1=∠A+∠B,与假设相矛盾.所以假设不成立.所以原命题成立，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.