《2025年名校课堂八年级数学上册青岛版》

11. 如图，在$3×3$的正方形网格中，则$∠1+∠2+∠3+∠4=$180°。

答案： 11.180°

12. 如图，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，$\triangle ABO\cong \triangle ADO$.下列结论：①$AC⊥BD$；②$CB=CD$；③$\triangle ABC\cong \triangle ADC$；④$DA=DC$.其中正确的是①②③。(填序号)

答案： 12.①②③

13. （8 分）如图，$AC=DF$，$BC=EF$，$AD=BE$，则$∠C$与$∠F$的大小关系怎样？为什么？

答案： 13.解：∠C=∠F.理由如下：因为 AD=BE，所以 AD+DB=DB+BE，即 AB=DE.在△ABC 和△DEF 中，
$\begin{cases}AB = DE, \\AC = DF, \\BC = EF,\end{cases}$
所以△ABC≌△DEF(SSS).所以 ∠C=∠F.

14. （10 分）如图，在$\triangle ABC$中，$∠ACB=90^{\circ}$，$CD⊥AB$于点 D，点 E 在 AC 上，$CE=BC$，过点 E 作 AC 的垂线，交 CD 的延长线于点 F.求证：$AB=FC$。

答案： 14.证明：因为 FE⊥AC，∠ACB=90°，所以 ∠FEC=∠ACB=90°.所以 ∠F+∠ECF=90°.因为 CD⊥AB，所以 ∠A+∠ECF=90°.所以 ∠A=∠F.在
$\begin{cases}\angle A = \angle F, \\\angle ACB = \angle FEC,\end{cases}$
△ABC 和△FCE 中，所以△ABC≌△FCE(AAS).所以 AB=FC.

15. （10 分）太阳能热水器（图 1）环保节能，安全可靠，维护简单，倍受人们的喜爱.它的支架侧面可以看作$Rt\triangle ABC$（图 2），$∠C=90^{\circ}$，为增强其牢固性，增加了 DA，DE 两根支架，已知$DE⊥AB$，且$AC=AE$，$∠B=58^{\circ}$。
（1）请找出图中的一对全等三角形，并进行证明；
（2）求$∠ADC$的度数。

答案： 15.解：
(1)△ADE≌△ADC.证明：在 Rt△ADC 和 Rt△ADE 中，
$\begin{cases}AD = AD, \\AC = AE,\end{cases}$
所以 Rt△ADC≌Rt△ADE(HL).
(2)因为 ∠B=58°，∠C=90°，所以 ∠B+∠BAC=90°.所以 ∠BAC=90°-58°=32°.由
(1)知， Rt△ADC≌Rt△ADE，所以 ∠DAC=∠DAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=16°.所以 ∠ADC=∠B+∠DAE=58°+16°=74°.

16. （12 分）如图，已知$AD// BC$，E 为 CD 上一点，AE，BE 分别平分$∠DAB$，$∠CBA$，BE 交 AD 的延长线于点 F.求证：
（1）$\triangle ABE\cong \triangle AFE$；
（2）$AD+BC=AB$。

答案： 16.证明：
(1)因为 AE，BE 分别平分∠DAB，∠CBA，所以 ∠BAE=∠FAE，∠ABE=∠CBE.因为 AD//BC，所以 ∠F=∠CBE.所以 ∠ABE=∠F.在
$\begin{cases}\angle ABF = \angle F, \\\angle BAE = \angle FAE,\end{cases}$
△ABE 和△AFE 中，所以△ABE≌△AFE(AAS).
(2)因为△ABE≌△AFE，所以 BE=FE，AB=AF.在△BCE 和△FDE 中，
$\begin{cases}\angle EBC = \angle F, \\BE = FE,\end{cases}$
所以△BCE≌△FDE(ASA).所以 BC=FD.所以 BC+AD=DF+AD=AF=AB.