《2025年名校课堂八年级数学上册青岛版》

8.(潍坊中考)若$x\lt 2$，且$\dfrac{1}{x - 2}+\vert x - 2\vert +x - 1=0$，则$x =$1.

答案： 8.1

9. 若关于$x$的分式方程$\dfrac{x}{x - 2}=2-\dfrac{m}{2 - x}$的解为正数，则满足条件的正整数$m$的值为1或3.

答案： 9.1或3

10.(枣庄中考)对于实数$a$，$b$，定义一种新运算“$\otimes$”：$a\otimes b=\dfrac{1}{a - b^{2}}$，这里等式右边是实数运算.例如：$1\otimes 3=\dfrac{1}{1 - 3^{2}}=-\dfrac{1}{8}$.则方程$x\otimes (-2)=\dfrac{2}{x - 4}-1$的解是x=5.

答案： 10.x=5

11. 解下列方程：
（1）$\dfrac{1}{x - 1}+\dfrac{2x}{x + 1}=2$；
（2）$\dfrac{3}{x + 1}=\dfrac{x}{2(x + 1)}+1$；
（3）$\dfrac{x}{2(x - 2)}-\dfrac{1}{(2 - x)(2 + x)}=\dfrac{1}{2}$；
（4）$\dfrac{2x}{2x - 5}-1=\dfrac{2}{2x + 5}$.

答案： 11.解：
(1)方程两边都乘(x-1)(x+1)，得x+1+2x(x-1)=2(x²-1).解得x=3.检验：当x=3时，(x-1)(x+1)≠0.所以原方程的解为x=3.
(2)方程两边都乘2(x+1)，得6=x+2(x+1).解得$x=\frac{4}{3}.$检验：当$x=\frac{4}{3}$时，2(x+1)≠0.所以原方程的解为$x=\frac{4}{3}. (3)$方程两边都乘2(2-x)(2+x)，得-x(2+x)-2=4-x².解得x=-3.检验：当x=-3时，2(2-x)(2+x)≠0.所以原方程的解为x=-3.
(4)方程两边都乘(2x-5)(2x+5)，得2x(2x+5)-(2x-5)(2x+5)=2(2x-5).解得$x=-\frac{35}{6}. $
检验：当$x=-\frac{35}{6}$时，(2x-5)(2x+5)≠0.所以原方程的解为$x=-\frac{35}{6}.$

12. 已知关于$x$的方程$\dfrac{ax}{1 - ax}-\dfrac{2}{ax - 1}=3$的解为$x = 1$，求$a$的值.

答案： 12.解：分式方程去分母，得-ax-2=3ax-3，将x=1代入，得-a-2=3a-3，解得$a=\frac{1}{4}.$

13. 如图，点$A$，$B$在数轴上，点$A$在点$B$的左侧，它们所对应的数分别是$\dfrac{2}{x - 2}$和$\dfrac{1 - x}{2 - x}$，且点$A$到原点的距离比点$B$到原点的距离多 3，求$x$的值.
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答案： 13.解：根据题意，得$\frac{1-x}{2-x}-\frac{2}{x-2}=3.$解得x=1.5.经检验，x=1.5是分式方程的解.所以x的值为1.5.

14. 观察分析下列方程：①$x+\dfrac{2}{x}=3$；②$x+\dfrac{6}{x}=5$；③$x+\dfrac{12}{x}=7$.请利用它们所蕴含的规律，求关于$x$的方程$x+\dfrac{n^{2}+n}{x - 3}=2n + 4$($n$为正整数)的根，你的答案是x=n+3或x=n+4.

答案： 14.x=n+3或x=n+4