《2025年名师测控九年级数学上册人教版》

1. 如图,$\triangle ABC$内接于$\odot O$,$∠B=60^{\circ}$,$CD$是$\odot O$的直径,点$P$是$CD$延长线上的一点,且$AP=AC$. 求证:$PA$是$\odot O$的切线.
证明：连接 OA。∵∠B=60°，∴∠AOC=120°，∴∠AOP=60°。∵OA=OC，∴∠OAC=∠ACP=1/2∠AOP=30°。又∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°，∴∠PAO=180°-∠P-∠AOP=90°，∴OA⊥AP，∴PA是⊙O的切线。

答案： 证明：连接 $ OA $。$\because \angle B = 60^{\circ}$，$\therefore \angle AOC = 120^{\circ}$，$\therefore \angle AOP = 60^{\circ}$。$\because OA = OC$，$\therefore \angle OAC = \angle ACP = \frac{1}{2}\angle AOP = 30^{\circ}$。又 $\because AP = AC$，$\therefore \angle P = \angle ACP = 30^{\circ}$，$\therefore \angle PAO = 180^{\circ} - \angle P - \angle AOP = 90^{\circ}$，$\therefore OA \perp AP$，$\therefore PA$ 是 $\odot O$ 的切线。

2. 如图,$C$是$\odot O$上一点,点$P$在直径$AB$的延长线上,$\odot O$的半径为$3$,$PB=2$,$PC=4$. 求证:$PC$是$\odot O$的切线.

证明：连接 $ OC $。$\because \odot O$ 的半径为 $ 3 $，$ BP = 2 $，$\therefore OP = OB + PB = 3 + 2 = 5 $。在 $\triangle OCP$ 中，$ OC^{2} + CP^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 5^{2} $，$ OP^{2} = 5^{2} $，$\therefore OP^{2} = OC^{2} + CP^{2} $，$\therefore \triangle OCP$ 为直角三角形，$\angle OCP = 90^{\circ}$，$\therefore PC$ 是 $\odot O$ 的切线。

答案： 证明：连接 $ OC $。$\because \odot O$ 的半径为 $ 3 $，$ BP = 2 $，$\therefore OP = OB + PB = 3 + 2 = 5 $。在 $\triangle OCP$ 中，$ OC^{2} + CP^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 5^{2} $，$ OP^{2} = 5^{2} $，$\therefore OP^{2} = OC^{2} + CP^{2} $，$\therefore \triangle OCP$ 为直角三角形，$\angle OCP = 90^{\circ}$，$\therefore PC$ 是 $\odot O$ 的切线。

3. 如图,$AB$是$\odot O$的直径,$CD$经过$\odot O$上一点$D$,且$CD⊥AC$于点$C$,$\overset{\frown}{ED}=\overset{\frown}{DB}$. 求证:$CD$是$\odot O$的切线.

证明：连接 $ BE $，$ OD $。$\because AB$ 是 $\odot O$ 的直径，$\therefore \angle AEB = 90^{\circ}$。$\because \overset{\frown}{ED} = \overset{\frown}{DB}$，$\therefore OD \perp BE$，$\therefore OD // AC$。$\because CD \perp AC$，$\therefore CD \perp OD$，$\therefore CD$ 是 $\odot O$ 的切线。

答案： 证明：连接 $ BE $，$ OD $。$\because AB$ 是 $\odot O$ 的直径，$\therefore \angle AEB = 90^{\circ}$。$\because \overset{\frown}{ED} = \overset{\frown}{DB}$，$\therefore OD \perp BE$，$\therefore OD // AC$。$\because CD \perp AC$，$\therefore CD \perp OD$，$\therefore CD$ 是 $\odot O$ 的切线。

4. 如图,已知$AB$是$\odot O$的直径,$BC⊥AB$,连接$OC$,弦$AD// OC$,直线$CD$交$BA$的延长线于点$E$. 求证:直线$CD$是$\odot O$的切线.
证明：连接 $ OD $。$\because AD // OC$，$\therefore \angle DAO = \angle COB$，$\angle ADO = \angle COD$。又 $\because OA = OD$，$\therefore \angle DAO = \angle ADO$，$\therefore \angle COD = \angle COB$。又 $\because OC = OC$，$ OD = OB $，$\therefore \triangle OCD \cong \triangle OCB(SAS)$，$\therefore \angle CDO = \angle CBO$。$\because BC \perp AB$，$\therefore \angle CBO = 90^{\circ}$，$\therefore \angle CDO = 90^{\circ}$，即 $ OD \perp EC $。又 $\because$ 点 $ D $ 在 $\odot O$ 上，$\therefore$ 直线 $ CD $ 是 $\odot O$ 的切线。

答案： 证明：连接 $ OD $。$\because AD // OC$，$\therefore \angle DAO = \angle COB$，$\angle ADO = \angle COD$。又 $\because OA = OD$，$\therefore \angle DAO = \angle ADO$，$\therefore \angle COD = \angle COB$。又 $\because OC = OC$，$ OD = OB $，$\therefore \triangle OCD \cong \triangle OCB(SAS)$，$\therefore \angle CDO = \angle CBO$。$\because BC \perp AB$，$\therefore \angle CBO = 90^{\circ}$，$\therefore \angle CDO = 90^{\circ}$，即 $ OD \perp EC $。又 $\because$ 点 $ D $ 在 $\odot O$ 上，$\therefore$ 直线 $ CD $ 是 $\odot O$ 的切线。

5. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$D$为$BC$的中点,以$D$为圆心的圆与$AB$相切于点$E$. 求证:$AC$与$\odot D$相切.
证明：连接 $ DA $，$ DE $，过点 $ D $ 作 $ DF \perp AC $ 于点 $ F $。$\because AB$ 与 $\odot D$ 相切于点 $ E $，$\therefore DE \perp AB$。$\because AB = AC$，$ D $ 为 $ BC $ 的中点，$\therefore AD$ 平分 $\angle BAC$，$\therefore DF = DE$，$\therefore DF$ 是 $\odot D$ 的半径，$\therefore AC$ 与 $\odot D$ 相切。

答案： 证明：连接 $ DA $，$ DE $，过点 $ D $ 作 $ DF \perp AC $ 于点 $ F $。$\because AB$ 与 $\odot D$ 相切于点 $ E $，$\therefore DE \perp AB$。$\because AB = AC$，$ D $ 为 $ BC $ 的中点，$\therefore AD$ 平分 $\angle BAC$，$\therefore DF = DE$，$\therefore DF$ 是 $\odot D$ 的半径，$\therefore AC$ 与 $\odot D$ 相切。

6. 如图,$O$为正方形$ABCD$对角线$AC$上一点,以点$O$为圆心,$OA$长为半径的$\odot O$与$BC$相切于点$M$. 求证:$CD$与$\odot O$相切.
证明：连接 $ OM $，过点 $ O $ 作 $ ON \perp CD $ 于点 $ N $。$\because$ 四边形 $ ABCD $ 是正方形，$\therefore CA$ 平分 $\angle BCD$。$\because \odot O$ 与 $ BC $ 相切，$\therefore OM \perp BC$。又 $\because ON \perp CD$，$\therefore OM = ON$，$\therefore ON$ 是 $\odot O$ 的半径，$\therefore CD$ 与 $\odot O$ 相切。

答案： 证明：连接 $ OM $，过点 $ O $ 作 $ ON \perp CD $ 于点 $ N $。$\because$ 四边形 $ ABCD $ 是正方形，$\therefore CA$ 平分 $\angle BCD$。$\because \odot O$ 与 $ BC $ 相切，$\therefore OM \perp BC$。又 $\because ON \perp CD$，$\therefore OM = ON$，$\therefore ON$ 是 $\odot O$ 的半径，$\therefore CD$ 与 $\odot O$ 相切。