《2025年名师测控九年级数学上册人教版》

9. (2024·浙江温州模拟)已知二次函数$y = - (x + h)^2$，当$x ＜ - 2$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x ＞ - 2$时，$y$随$x$的增大而减小.当$x = 0$时，$y$的值为（D）
A. 2
B. - 2
C. 4
D. - 4

答案： D

10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数$y = ax + c$和二次函数$y = a(x + c)^2$的大致图象为（B）

答案： B

11. 数学思想 分类讨论 若抛物线$y = - \frac{1}{3}(x + 2)^2$向右平移$m$个单位长度后经过点$(3, - 3)$，则$m$的值为2或8.

答案： 2或8

12. 如图，抛物线$y = a(x + 1)^2$的顶点为$A$，与$y$轴的负半轴交于点$B$，且$OB = OA$.
(1)求抛物线对应的函数解析式；$y=-(x+1)^2$
(2)若点$C(- 3,b)$在该抛物线上，求$b$的值；$-4$
(3)若点$D(2,y_1)$，$E(3,y_2)$在此抛物线上，试比较$y_1$与$y_2$的大小.$y_1>y_2$

答案： 解:
(1)由题意知,顶点A的坐标是(−1,0),
∴OA=1.
∵OA=OB,
∴OB=1,
∴B(0,−1).把B(0,−1)的坐标代入y=a(x+1)²,得−1=a(0 +1)²,解得a=−1,
∴抛物线对应的函数解析式为y=−(x+1)²;
(2)把点C(−3,b)的坐标代入y=−(x+1)²,得b=−(−3+1)²=−4,解得b=−4;
(3)
∵抛物线y=−(x+1)²的对称轴是直线x=−1,a＜0,
∴当x＞−1时,y随x的增大而减小.
∵点D(2,y1),E(3,y2)在此抛物线上,−1＜2＜3,
∴y1＞y2.

13. 新视角 存在性探究题 如图，将抛物线$y = x^2$向右平移$a$个单位长度，顶点为$A$，与$y$轴交于点$B$，且$\triangle AOB$为等腰直角三角形.
(1)求$a$的值；
(2)在图中的抛物线上是否存在点$C$，使$\triangle ABC$为等腰直角三角形？若存在，直接写出点$C$的坐标；若不存在，请说明理由.

答案：
解:
(1)由题意，得平移后的抛物线的解析式为y=(x−a)²,顶点A(a,0).当x=0 时,y=a²,
∴B(0,a²).
∵△AOB为等腰直角三角形，
∴OA=OB,
∴a=a²,解得a1=1,a2=0(舍去),
∴a的值为1;
(2)存在.如图，作点B关于抛物线的对称轴对称的点C，连接BC,交抛物线的对称轴于点D,连接AC.
∵△AOB为等腰直角三角形，结合抛物线的对称性，得△ABD为等腰直角三角形，
∴∠BAD=45°.
∵AD为抛物线的对称轴，
∴AB=AC,∠CAD=∠BAD=45°,
∴∠BAC=∠CAD+∠BAD=90°,
∴△ABC为等腰直角三角形.由
(1)可知B(0,1),抛物线的对称轴为直线x=1,
∴点C的坐标为(2,1),
∴在图中的抛物线上存在点C(2,1),使△ABC为等腰直角三角形.