《2025年名师测控九年级数学上册人教版》

9. 二次函数$y = ax^{2}+k$的图象如图所示，则一次函数$y = ax - k$的大致图象是 （D）

答案： D

10. 新趋势 学科内综合 如图，抛物线$y = ax^{2}+c$经过正方形$OABC$的三个顶点$A$，$B$，$C$，点$B$在$y$轴上，则$ac$的值为______-2.

答案： $-2$

11. 二次函数$y = ax^{2}+k$图象的顶点坐标是$(0,2)$，且形状及开口方向与抛物线$y=-\frac{1}{2}x^{2}$相同.
(1)确定$a$，$k$的值；
(2)在图中画出二次函数$y = ax^{2}+k$的图象.

答案：
解：
(1)$a = -\frac{1}{2}$，$k = 2$；
(2) 由
(1)知$y = -\frac{1}{2}x^{2}+2$. 列表：
　　　　　　　...　　$-3$　　$-2$　　$-1$　　　$0$　　　$1$　　　$2$　　　$3$
　　　　$y$　　　...　　$-2.5$　　$0$　　　$1.5$　　　$2$　　　$1.5$　　　$0$　　$-2.5$　　...
描点、连线，如图.

12. 抛物线$y = 2x^{2}+n$与直线$y = 2x - 1$交于点$(m,3)$.
(1)$m =$2，$n =$-5；
(2)求抛物线$y = 2x^{2}+n$的顶点坐标和对称轴；
(3)当$x$取何值时，二次函数$y = 2x^{2}+n$中，$y$随$x$的增大而减小？

答案： 解：
(1)$2$ $-5$
(2) 抛物线的解析式为$y = 2x^{2}-5$，顶点坐标为$(0,-5)$，对称轴是$y$轴；
(3) 当$x ＜ 0$时，二次函数$y = 2x^{2}-5$中，$y$随$x$的增大而减小.

13. 新视角 存在性探究题 如图，已知抛物线$y=-x^{2}+4$交$x$轴于$A$，$B$两点，顶点是$C$.
(1)求$\triangle ABC$的面积；
(2)在抛物线$y=-x^{2}+4$上是否存在点$Q$，使$\angle AQB = 90^{\circ}$？若存在，请求出点$Q$的坐标；若不存在，请说明理由.

答案：
解：
(1) 令$x = 0$，则$y = 4$，$\therefore C(0,4)$，$\therefore OC = 4$. 令$y = 0$，则$-x^{2}+4 = 0$，解得$x_{1}=2$，$x_{2}=-2$，$\therefore A(2,0)$，$B(-2,0)$，$\therefore AB = 4$，$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot OC=\frac{1}{2}\times4\times4 = 8$；
(2) 存在. 理由如下：如图，设$Q(x_{0},y_{0})$，$y_{0}\neq0$，连接$OQ$，$BQ$，$AQ$.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
$\because\angle AQB = 90^{\circ}$，$OA = OB$，$\therefore QO = OA = OB = 2$，$\therefore\begin{cases}x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=2^{2},\\y_{0}=-x_{0}^{2}+4,\end{cases}$解得$\begin{cases}x_{0}=\pm\sqrt{3},\\y_{0}=1\end{cases}$或$\begin{cases}x_{0}=\pm2,\\y_{0}=0.\end{cases}$（舍去）$\therefore$当$\angle AQB = 90^{\circ}$时，点$Q$的坐标为$(\sqrt{3},1)$或$(-\sqrt{3},1)$.