《2025年名师测控九年级数学上册人教版》

11. 新视角 程序应用 如图是一个运算程序示意图,若第一次输入1,则输出的结果是11.

答案： 11

12. 已知函数$ y = m ( m + 2 ) x ^ { 2 } + m x + m + 1 $.
(1)当m为何值时,此函数是一次函数?
(2)当m为何值时,此函数是二次函数?

答案： 解:
(1) $ \because $ 函数 $ y = m(m + 2)x^2 + mx + m + 1 $ 是一次函数, $ \therefore m(m + 2) = 0 $ 且 $ m \neq 0 $, 解得 $ m = -2 $. 故当 $ m = -2 $ 时, 此函数是一次函数;
(2) $ \because $ 函数 $ y = m(m + 2)x^2 + mx + m + 1 $ 是二次函数, $ \therefore m(m + 2) \neq 0 $, 解得 $ m \neq -2 $ 且 $ m \neq 0 $. 故当 $ m \neq -2 $ 且 $ m \neq 0 $ 时, 此函数是二次函数.

13. 如图,矩形DEFG的四个顶点分别在等边三角形ABC的边上.已知$ \triangle A B C $的边长为4,记矩形DEFG的面积为S,线段BE的长为x.
(1)求S关于x的函数解析式;$S=-2\sqrt{3}x^2 + 4\sqrt{3}x$
(2)当$ S = \sqrt { 3 } $时,求x的值.$x=1\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

答案： 解:
(1) $ \because \triangle ABC $ 是等边三角形, $ \therefore \angle B = \angle C = 60^\circ $. $ \because $ 矩形 $ DEFG $ 的四个顶点分别在等边三角形 $ ABC $ 的边上, $ \therefore \angle BED = \angle CFG = 90^\circ $, $ DE = GF $. $ \therefore \triangle BED \cong \triangle CFG(AAS) $, $ \therefore BE = CF = x $, $ EF = 4 - 2x $. 易得 $ DE = \sqrt{3}x $. $ \therefore S = EF \cdot DE = (4 - 2x) \cdot \sqrt{3}x = -2\sqrt{3}x^2 + 4\sqrt{3}x $;
(2) $ \because S = \sqrt{3} $, $ \therefore -2\sqrt{3}x^2 + 4\sqrt{3}x = \sqrt{3} $. 整理, 得 $ 2x^2 - 4x + 1 = 0 $. 解得 $ x = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2} $. $ \because 0 ＜ x ＜ 2 $, $ \therefore x = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2} $.

14. (教材$ \mathrm { P } _ { 41 } $习题$ \mathrm { T } _ { 8 } $变式)如图,在$ \triangle A B C $中,$ \angle B = 90 ^ { \circ } $,$ A B = 12 \mathrm { mm } $,$ B C = 24 \mathrm { mm } $,动点P从点B开始沿边BA向点A以$ 2 \mathrm { mm } / \mathrm { s } $的速度移动(不与点A重合),动点Q从点C开始沿边CB向点B以$ 4 \mathrm { mm } / \mathrm { s } $的速度移动(不与点B重合).如果P,Q分别从B,C两点同时出发,其中一点停止时另一点也随之停止.设运动的时间为$ x \mathrm { s } $,四边形APQC的面积为$ y \mathrm { mm } ^ { 2 } $.
(1)y与x的关系式为$ y = 4x^2 - 24x + 144 $,自变量x的取值范围为$ 0 ＜ x ＜ 6 $;
(2)四边形APQC的面积能否等于$ 172 \mathrm { mm } ^ { 2 } $?若能,请求出运动的时间;若不能,请说明理由.
不能. 理由如下: 当 $ y = 172 $ 时, 即 $ 4x^2 - 24x + 144 = 172 $, 解得 $ x_1 = 7 $, $ x_2 = -1 $. 又 $ \because 0 ＜ x ＜ 6 $, $ \therefore x_1 = 7 $, $ x_2 = -1 $ 均不符合题意. $ \therefore $ 四边形 $ APQC $ 的面积不能等于 $ 172 \text{ mm}^2 $.

答案： 解:
(1) $ y = 4x^2 - 24x + 144 $ $ 0 ＜ x ＜ 6 $
(2) 不能. 理由如下: 当 $ y = 172 $ 时, 即 $ 4x^2 - 24x + 144 = 172 $, 解得 $ x_1 = 7 $, $ x_2 = -1 $. 又 $ \because 0 ＜ x ＜ 6 $, $ \therefore x_1 = 7 $, $ x_2 = -1 $ 均不符合题意. $ \therefore $ 四边形 $ APQC $ 的面积不能等于 $ 172 \text{ mm}^2 $.