《2025年名师测控九年级数学上册人教版》

10. 新视角 动点探究题 如图，在矩形$ABCD$中，$AB=18cm$，$AD=4cm$，点$P$，$Q$分别从$A$，$B$同时出发，点$P$在$AB$边上沿$AB$方向以$2cm/s$的速度运动，点$Q$在$BC$边上沿$BC$方向以$1cm/s$的速度运动. 当其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动. 设运动时间为$xs$，$\triangle PBQ$的面积为$ycm^{2}$.
（1）求$y$关于$x$的函数关系式，并指出$x$的取值范围；
（2）运动多长时间后$\triangle PBQ$的面积最大？最大面积是多少？
（1）$y$关于$x$的函数关系式为$y=-x^2 + 9x$，$x$的取值范围为$0 \leq x \leq 4$；
（2）运动4s后$\triangle PBQ$的面积最大，最大面积是20$cm^{2}$.

答案： 解：
(1)$\because PB = AB - AP = (18 - 2x)$cm，$BQ = x$cm，$\therefore y = \frac{1}{2}(18 - 2x) \cdot x = -x^2 + 9x$，x的取值范围为$0 \leq x \leq 4$；
(2)$y = -x^2 + 9x = -(x - \frac{9}{2})^2 + \frac{81}{4}$。$\because -1 ＜ 0$，$\therefore$此抛物线的开口向下，$\therefore$当$0 \leq x \leq 4$时，y随x的增大而增大，$\therefore$当$x = 4$时，y最大，$y_{最大} = -4^2 + 9 \times 4 = 20$。$\therefore$运动4 s后$\triangle PBQ$的面积最大，最大面积为20 cm²。

11. 新趋势 学科内综合 (2024·广东肇庆一模)
【发现问题】
由$(a-b)^{2}≥0$，得$a^{2}+b^{2}≥2ab$. 如果两个正数$a$，$b$，即$a＞0$，$b＞0$，则有下面的不等式：$a+b≥2\sqrt {ab}$，当且仅当$a=b$时取到等号.
【提出问题】
若$a＞0$，$b＞0$，利用配方能否求出$a+b$的最小值呢？
【分析问题】
例如：已知$x＞0$，求式子$x+\frac {4}{x}$的最小值.
解：令$a=x$，$b=\frac {4}{x}$，则由$a+b≥2\sqrt {ab}$，得$x+\frac {4}{x}≥2\sqrt {x\cdot \frac {4}{x}}=4$，当且仅当$x=\frac {4}{x}$时，即$x=2$时，式子有最小值，最小值为$4$.
【解决问题】
请根据上面材料解答下列问题：
（1）$2+3$＞$2\sqrt {2×3}$(选填“＞”“＜”或“=”)；当$x＞0$，式子$x+\frac {1}{x}$的最小值为2；
【能力提升】
（2）如图①，用篱笆围一个面积为$32m^{2}$的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙(墙长$20m$)，问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（3）如图②，四边形$ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$\triangle AOB$，$\triangle COD$的面积分别是$8$和$14$，求四边形$ABCD$面积的最小值.

答案： 解：
(1)$＞$ 2
(2)设这个长方形花园靠墙的一边的长为x m，另一边为y m。根据题意，得$xy = 32$，$\therefore y = \frac{32}{x}$，$\therefore$这个篱笆的长为$\frac{32}{x} \times 2 + x = (\frac{64}{x} + x)$m。根据材料可得，$\frac{64}{x} + x \geq 2\sqrt{\frac{64}{x} \times x}$，当且仅当$\frac{64}{x} = x$时，即$x = 8$时取等号，$\therefore y = \frac{32}{x} = \frac{32}{8} = 4$，$\frac{64}{x} + x = 8 + 8 = 16$，$\therefore$当长、宽分别为8 m，4 m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是16 m；
(3)设$S_{\triangle BOC} = x$，已知$S_{\triangle AOB} = 8$，$S_{\triangle COD} = 14$，则由等高三角形可知：$S_{\triangle BOC} : S_{\triangle COD} = BO : OD = S_{\triangle AOB} : S_{\triangle AOD}$，$\therefore x : 14 = 8 : S_{\triangle AOD}$，$\therefore S_{\triangle AOD} = \frac{112}{x}$，$\therefore$四边形ABCD面积为$8 + 14 + x + \frac{112}{x} \geq 22 + 2\sqrt{x \times \frac{112}{x}} = 22 + 8\sqrt{7}$，当且仅当$x = \frac{112}{x}$，即$x = 4\sqrt{7}$时，取等号，$\therefore$四边形ABCD面积的最小值为$22 + 8\sqrt{7}$。