《2025年名师测控九年级数学上册人教版》

易错点1 忽视一元二次方程的二次项系数不为$0$而致错
1. 若关于$x$的一元二次方程$(m - 3)x^{2}+m^{2}x = 9x + 5$化为一般形式后不含一次项，则$m$的值为（D）
A. $0$
B. $\pm3$
C. $3$
D. $-3$

答案： D

2. 若$(m^{2}+n^{2})^{2}-2(m^{2}+n^{2}) - 8 = 0$，则代数式$m^{2}+n^{2}$的值为4．

答案： 4

易错点3 运用根与系数的关系时忽略$\Delta\geqslant0$而致错
3. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2(1 - m)x + m^{2}=0$的两实数根为$x_{1}$，$x_{2}$．若$x_{1}x_{2}=1$，则$m$的值为-1．

答案： -1

1. （2024·四川绵阳）已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2(k - 1)x + k^{2}+2 = 0$有实数根，则$k$的取值范围为（D）
A. $k＞-\frac{1}{2}$
B. $k＜-\frac{1}{2}$
C. $k\geqslant-\frac{1}{2}$
D. $k\leqslant-\frac{1}{2}$

答案： D

2. 若关于$x$的一元二次方程$3x^{2}-2x + m = 0$有两根，其中一根为$x = 1$，则这两根之积为（D）
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $1$
D. $-\frac{1}{3}$

答案： D

3. 新视角 新定义 已知关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$的系数满足$a + b + c = 0$，我们把这样的方程称为“凤凰方程”．已知“凤凰方程”$ax^{2}+bx + c = 0$的一个根是另一个根的两倍，则这个方程的两个根是1,2 或 $1,\frac{1}{2}$．

答案： 1,2 或 $1,\frac{1}{2}$

4. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+ax + a - 1 = 0$．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的$3$倍，求$a$的值．

答案： 解:
(1) $\because\Delta=a^{2}-4(a - 1)=a^{2}-4a + 4=(a - 2)^{2}\geqslant0$, $\therefore$ 该方程总有两个实数根;
(2) $\because x^{2}+ax + a - 1 = 0,\therefore(x^{2}-1)+(ax + a)=0,\therefore(x + 1)(x - 1)+a(x + 1)=0,\therefore(x + 1)[x+(a - 1)]=0,\therefore x + 1 = 0$, 或 $x+(a - 1)=0$, $\therefore x_{1}=-1,x_{2}=-a + 1$. $\because$ 该方程的两个实数根都是整数, 且其中一个根是另一个根的 3 倍, $\therefore a$ 为整数, $-a + 1 = 3\times(-1)$, 或 $3(-a + 1)=-1$, 解得 $a_{1}=4,a_{2}=\frac{4}{3}$ (舍去), $\therefore a$ 的值为 4.

5. （2024·广东深圳模拟）随着重庆动物园的熊猫新馆建成和使用，熊猫相应的文创物品类型更加丰富．某店有$A$，$B$两种熊猫玩偶，已知每个$A$款熊猫玩偶的售价是每个$B$款熊猫玩偶售价的$\frac{6}{5}$倍，顾客用$150$元购买$A$款熊猫玩偶的数量比用$150$元购买$B$款熊猫玩偶的数量少$1$个．
（1）求每个$B$款熊猫玩偶的售价为多少元？
（2）经统计，该店每月卖出$A$款熊猫玩偶$100$个，每个$A$款熊猫玩偶的利润为$16$元．为了尽快减少库存，该店决定采取适当的降价措施．调查发现，每个$A$款熊猫玩偶的售价每降低$2$元，那么平均每月可多售出$20$个．该店想每月销售$A$款熊猫玩偶的利润达到$1200$元，每个$A$款熊猫玩偶应降价多少元？

答案： 解:
(1) 设每个 B 款熊猫玩偶的售价为 $x$ 元, 则每个 A 款熊猫玩偶的售价为 $\frac{6}{5}x$ 元. 根据题意, 得 $\frac{150}{\frac{6}{5}x}=\frac{150}{x}-1$. 解得 $x = 25$. 经检验, $x = 25$ 是原分式方程的解, 且符合题意. 答: 每个 B 款熊猫玩偶的售价为 25 元;
(2) 设每个 A 款熊猫玩偶应降价 $m$ 元. 根据题意, 得 $(16 - m)(100+\frac{m}{2}\times20)=1200$, 整理, 得 $m^{2}-6m - 40 = 0$, 解得 $m_{1}=10,m_{2}=-4$. $\because$ 为了尽快减少库存, $\therefore m = 10$. 答: 每个 A 款熊猫玩偶应降价 10 元.