《2025年名师测控九年级数学上册人教版》

11. （2024·山西晋中模拟）如图，将$\triangle OAB$绕点O逆时针旋转$80^{\circ}$，得到$\triangle OCD$。若$\angle A = 2\angle D = 100^{\circ}$，则$\angle\alpha$的度数为$50^{\circ}$。

答案： $50^{\circ}$

12. 如图，在矩形ABCD中，$BC = 2AB$，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转$60^{\circ}$得到线段$BP'$，连接$PP'$，$CP'$。当点$P'$落在边BC上时，$\angle PP'C$的度数为$120^{\circ}$；当线段$CP'$的长度最小时，$\angle PP'C$的度数为$75^{\circ}$。（提示：将BA绕点B顺时针旋转$60^{\circ}$得BE，连接$EP'$）

答案： $120^{\circ}$ $75^{\circ}$

13. （1）如图①，O是等边三角形ABC内一点，连接OA，OB，OC，且$OA = 3$，$OB = 4$，$OC = 5$，将$\triangle BAO$绕点B顺时针旋转后得到$\triangle BCD$，连接OD。
①旋转角的度数为____60°；
②线段OD的长为____4；
③求$\angle BDC$的度数；

（2）如图②，O是等腰直角三角形ABC（$\angle ABC = 90^{\circ}$）内一点，连接OA，OB，OC，将$\triangle BAO$绕点B顺时针旋转后得到$\triangle BCD$，连接OD。当OA，OB，OC满足什么条件时，$\angle ODC = 90^{\circ}$？请给出证明。

答案： 解:
(1) ① $60^{\circ}$ ② 4 ③ 由旋转的性质, 得 $\triangle BAO \cong \triangle BCD$. $\therefore BO = BD$, $\angle ABO = \angle CBD$, $CD = AO = 3$. $\because \triangle ABC$ 为等边三角形, $\therefore \angle ABC = 60^{\circ}$, $\therefore \angle OBD = \angle OBC + \angle CBD = \angle OBC + \angle ABO = \angle ABC = 60^{\circ}$, $\therefore \triangle BOD$ 为等边三角形, $\therefore \angle BDO = 60^{\circ}$. 在 $\triangle OCD$ 中, $CD = 3$, $OD = 4$, $OC = 5$. $\because 3^{2} + 4^{2} = 5^{2}$, $\therefore CD^{2} + OD^{2} = OC^{2}$, $\therefore \triangle OCD$ 为直角三角形, $\angle ODC = 90^{\circ}$, $\therefore \angle BDC = \angle BDO + \angle ODC = 60^{\circ} + 90^{\circ} = 150^{\circ}$;
(2) 当 $OA^{2} + 2OB^{2} = OC^{2}$ 时, $\angle ODC = 90^{\circ}$. 证明如下: $\because \triangle BAO$ 绕点 $B$ 顺时针旋转后得到 $\triangle BCD$, $\therefore \triangle BAO \cong \triangle BCD$, $\therefore \angle ABO = \angle CBD$, $BO = BD$, $CD = AO$, $\therefore \angle OBD = \angle CBD + \angle CBO = \angle ABO + \angle CBO = \angle ABC = 90^{\circ}$, $\therefore \triangle OBD$ 为等腰直角三角形, $\therefore OD = \sqrt{2}OB$. 当 $CD^{2} + OD^{2} = OC^{2}$ 时, $\triangle OCD$ 为直角三角形, $\angle ODC = 90^{\circ}$, $\therefore OA^{2} + 2OB^{2} = OC^{2}$, $\therefore$ 当 $OA$, $OB$, $OC$ 满足 $OA^{2} + 2OB^{2} = OC^{2}$ 时, $\angle ODC = 90^{\circ}$.

1. 将数字“6”旋转$180^{\circ}$，得到数字“9”；将数字“9”旋转$180^{\circ}$，得到数字“6”。现将数“69”旋转$180^{\circ}$，得到的数是（B）
A. 96
B. 69
C. 66
D. 99

答案： B

2. 如图，在平面直角坐标系中，点$A(-1,2)$，$OC = 4$，将$□ OABC$绕点O旋转$90^{\circ}$后，点B的对应点$B'$的坐标是$(-2,3)$ 或 $(2,-3)$。

答案： $(-2,3)$ 或 $(2,-3)$