《2025年名师测控九年级数学上册人教版》

7. 一元二次方程 $ x ( x - 3 ) = x - 3 $ 的根是（C）
A. $ x = 1 $
B. $ x = - 3 $
C. $ x _ { 1 } = 1 , x _ { 2 } = 3 $
D. $ x _ { 1 } = 0 , x _ { 2 } = 3 $

答案： C

8. 用因式分解法解下列方程：
(1) $ ( x - 2 ) ^ { 2 } - 10 ( x - 2 ) + 25 = 0 $；
解：因式分解，得$(x-2-5)^{2}=0$，$(x-7)^{2}=0$。于是得$x-7=0$，$x_{1}=x_{2}=7$；
(2) $ 3 x + 15 = - 2 x ^ { 2 } - 10 x $。
解：移项整理，得$3(x+5)+2x(x+5)=0$。因式分解，得$(x+5)(2x+3)=0$。于是得$x+5=0$，或$2x+3=0$，$x_{1}=-5$，$x_{2}=-\frac{3}{2}$。

答案： 解：
(1)因式分解，得$(x-2-5)^{2}=0$，$(x-7)^{2}=0$。于是得$x-7=0$，$x_{1}=x_{2}=7$；
(2)移项整理，得$3(x+5)+2x(x+5)=0$。因式分解，得$(x+5)(2x+3)=0$。于是得$x+5=0$，或$2x+3=0$，$x_{1}=-5$，$x_{2}=-\frac{3}{2}$。

9. 已知关于 $ x $ 的方程 $ ( x - 2 ) ^ { 2 } - 3 ( x - 2 ) + 2 = 0 $，则 $ x - 2 $ 的值为（C）
A. 1 或 3
B. 2 或 3
C. 1 或 2
D. 4

答案： C

10. 已知实数 $ a , b $ 满足 $ ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) ^ { 2 } - ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) - 12 = 0 $，则 $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } $ 的值为______4。

答案： 4

11. 阅读材料：
【例】解方程 $ ( x - 1 ) ^ { 2 } - 5 ( x - 1 ) + 4 = 0 $。
解：设 $ x - 1 = y $，
则原方程可化为 $ y ^ { 2 } - 5 y + 4 = 0 $。
解得 $ y _ { 1 } = 1 , y _ { 2 } = 4 $。
当 $ y = 1 $ 时，$ x - 1 = 1 $，解得 $ x = 2 $。
当 $ y = 4 $ 时，$ x - 1 = 4 $，解得 $ x = 5 $。
∴原方程的解为 $ x _ { 1 } = 2 , x _ { 2 } = 5 $。
上述解法称为“整体换元法”。
请运用“整体换元法”解方程：
(1) $ x ^ { 4 } - 3 x ^ { 2 } - 4 = 0 $；
解：设$x^{2}=y$，则原方程可化为$y^{2}-3y-4=0$。解得$y=4$，或$y=-1$。当$y=4$时，$x^{2}=4$，∴$x=\pm2$。当$y=-1$时，$x^{2}=-1$，此方程无解。∴原方程的解为$x_{1}=2$，$x_{2}=-2$；
(2) $ ( x ^ { 2 } - 2 ) ^ { 2 } - 11 ( x ^ { 2 } - 2 ) + 18 = 0 $。
解：设$x^{2}-2=y$，则原方程可化为$y^{2}-11y+18=0$。解得$y=2$，或$y=9$。当$y=2$时，$x^{2}-2=2$，∴$x^{2}=4$，∴$x=\pm2$。当$y=9$时，$x^{2}-2=9$，∴$x^{2}=11$，∴$x=\pm\sqrt{11}$。∴原方程的解为$x_{1}=2$，$x_{2}=-2$，$x_{3}=-\sqrt{11}$，$x_{4}=\sqrt{11}$。

答案： 解：
(1)设$x^{2}=y$，则原方程可化为$y^{2}-3y-4=0$。解得$y=4$，或$y=-1$。当$y=4$时，$x^{2}=4$，$\therefore x=\pm2$。当$y=-1$时，$x^{2}=-1$，此方程无解。$\therefore$原方程的解为$x_{1}=2$，$x_{2}=-2$；
(2)设$x^{2}-2=y$，则原方程可化为$y^{2}-11y+18=0$。解得$y=2$，或$y=9$。当$y=2$时，$x^{2}-2=2$，$\therefore x^{2}=4$，$\therefore x=\pm2$。当$y=9$时，$x^{2}-2=9$，$\therefore x^{2}=11$，$\therefore x=\pm\sqrt{11}$。$\therefore$原方程的解为$x_{1}=2$，$x_{2}=-2$，$x_{3}=-\sqrt{11}$，$x_{4}=\sqrt{11}$。