《2025年名师测控九年级数学上册人教版》

6. 某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车,已知在甲、乙两地的销售利润y(万元)与销售量x(辆)之间分别满足:$y_{1}=-x^{2}+10x,y_{2}=2x$.若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车,则能获得的最大利润为46万元.

答案： 46

7. 为了振兴乡村经济,增加村民收入,某村委会干部带领村民在网上直播推销一种成本价为每千克40元的农产品,如图是该种农产品的日销售量y(kg)与销售单价x(元)之间的函数图象,请结合图象解答下列问题:
(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
y与x的函数关系式为y = - x + 100，自变量x的取值范围为40 ＜ x ＜ 100
(2)当销售单价定为多少元时,日销售利润最大?最大利润是多少?
当销售单价定为70元时，日销售利润最大，最大利润是900元．

答案： 解：
(1)设$y$与$x$的函数关系式为$y = kx + b$．把$(50,50)$，$(80,20)$代入，得$\left\{\begin{array}{l}50k + b = 50,\\80k + b = 20,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}k = - 1,\\b = 100.\end{array}\right.$ $\therefore y = - x + 100$．令$y = 0$，则$- x + 100 = 0$，解得$x = 100$．$\because$成本价为每千克40元，$\therefore$自变量$x$的取值范围为$40 ＜ x ＜ 100$，$\therefore y$与$x$的函数关系式为$y = - x + 100(40 ＜ x ＜ 100)$；
(2)设日销售利润为$w$元．$w = (x - 40)y = (x - 40)(- x + 100) = - x^{2} + 140x - 4000 = - (x - 70)^{2} + 900$．$\because - 1 ＜ 0$，$\therefore$此抛物线的开口向下，$\therefore$当$x = 70$时，$w$有最大值，最大值为900，$\therefore$当销售单价定为70元时，日销售利润最大，最大利润是900元．

8. (2024·贵州)某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售,经市场调查发现:销售单价不低于进价时,日销售量y(盒)与销售单价x(元)是一次函数关系,下表是y与x的几组对应值.
|销售单价x/元|…|12|14|16|18|20|…|
|----|----|----|----|----|----|----|----|
|日销售量y/盒|…|56|52|48|44|40|…|
(1)求y与x之间的函数解析式;
(2)糖果销售单价定为多少元时,所获日销售利润最大,最大利润是多少?
(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品,赠送礼品后,为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元,求m的值.

答案： 解：
(1)设$y = kx + b(k\neq 0)$．$\therefore \left\{\begin{array}{l}12k + b = 56,\\14k + b = 52,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}k = - 2,\\b = 80.\end{array}\right.$ $\therefore y = - 2x + 80$；
(2)设日销售利润为$w$元．$w = (x - 10)(- 2x + 80) = - 2x^{2} + 100x - 800 = - 2(x - 25)^{2} + 450$．$\because - 2 ＜ 0$，$\therefore$此抛物线的开口向下，$\therefore$当$x = 25$时，$w$有最大值，为450．答：糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元；
(3)$w = (x - 10 - m)(- 2x + 80) = - 2x^{2} + (100 + 2m)x - 800 - 80m$．$\because$最大利润为392元，$\therefore \frac{4\times (- 2)(- 800 - 80m) - (100 + 2m)^{2}}{4\times (- 2)} = 392$．整理，得$m^{2} - 60m + 116 = 0$．解得$m_{1} = 2$，$m_{2} = 58$．当$m = 58$时，$x = - \frac{b}{2a} = 54$，$\therefore$每盒糖果的利润$ = 54 - 10 - 58 = - 14$(元)，不符合题意，舍去．$\therefore m$的值为2．