《2025年名师测控九年级数学上册人教版》

12. 点O是$△ABC$的外心，若$∠BOC=110^{\circ }$，则$∠BAC$的度数为55°或125°.

答案： 55°或125°

13. 如图，在$△ABC$中，$∠ACB=90^{\circ },AB=5,BC=4$.以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在$\odot A$内且点B在$\odot A$外时，r的值可能是（C）

A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

答案： C

14. (2024·广东广州)如图，$\odot O$中，弦AB的长为$4\sqrt {3}$，点C在$\odot O$上，$OC⊥AB,∠ABC=30^{\circ }.\odot O$所在的平面内有一点P，若$OP=5$，则点P与$\odot O$的位置关系是（C）

A. 点P在$\odot O$上
B. 点P在$\odot O$内
C. 点P在$\odot O$外
D. 无法确定

答案： C

15. 数学思想 分类讨论 点P是非圆上一点，若点P到$\odot O$上的点的最小距离是4 cm，最大距离是9 cm，则$\odot O$的半径是6.5cm或2.5cm.

答案： 6.5cm或2.5cm

16. 新视角 操作实践题 如图，要把残破的圆片复制完整.已知弧上的三点A，B，C.
(1)用尺规作图法找出$\widehat {BAC}$所在圆的圆心；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)若$△ABC$是等腰三角形，底边$BC=8cm$，腰$AB=5cm$，求圆片的半径.

答案：
解：
(1)如图，点O即为所求圆的圆心；
(2)连接AO交BC于点E，连接OB。
∵AB = AC，
∴AE⊥BC，
∴BE = $\frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \times 8 = 4$ (cm)。在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE = $\sqrt{AB^{2} - BE^{2}} = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3$ (cm)。设⊙O的半径为R cm，则OE = (R - 3)cm。在Rt△BEO中，由勾股定理，得$OB^{2} = BE^{2} + OE^{2}$，即$R^{2} = 4^{2} + (R - 3)^{2}$，解得$R = \frac{25}{6}$。
∴所求圆片的半径为$\frac{25}{6}$cm。

17. 如图，AD为$△ABC$外接圆的直径，$AD⊥BC$，垂足为点F，$∠ABC$的平分线交AD于点E，连接BD，CD.
(1)求证：$BD=CD$；
证明：∵AD为直径，AD⊥BC，∴$\overset{\frown}{BD} = \overset{\frown}{CD}$，∴BD = CD；
(2)请判断B，E，C三点是否在以点D为圆心，DB长为半径的圆上，并说明理由.
B，E，C三点在以点D为圆心，DB长为半径的圆上。理由如下：∵$\overset{\frown}{BD} = \overset{\frown}{CD}$，∴∠BAD = ∠CAD。∵BE平分∠ABC，∴∠ABE = ∠EBF。∵∠BED = ∠BAD + ∠ABE，∠EBD = ∠EBF + ∠CBD，∠CBD = ∠CAD = ∠BAD，∴∠BED = ∠EBD，∴DE = DB。又∵DB = DC，∴DB = DE = DC，∴B，E，C三点在以点D为圆心，DB长为半径的圆上。

答案： 解：
(1)
∵AD为直径，AD⊥BC，
∴$\overset{\frown}{BD} = \overset{\frown}{CD}$，
∴BD = CD；
(2)B，E，C三点在以点D为圆心，DB长为半径的圆上。理由如下：
∵$\overset{\frown}{BD} = \overset{\frown}{CD}$，
∴∠BAD = ∠CAD。
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE = ∠EBF。
∵∠BED = ∠BAD + ∠ABE，∠EBD = ∠EBF + ∠CBD，∠CBD = ∠CAD = ∠BAD，
∴∠BED = ∠EBD，
∴DE = DB。又
∵DB = DC，
∴DB = DE = DC，
∴B，E，C三点在以点D为圆心，DB长为半径的圆上。