《2025年名师测控九年级数学上册人教版》

10.已知m,n是一元二次方程$x^{2}+2x-5=0$的两个根,则$m^{2}+mn+2m$的值为(A)
A.0
B.-10
C.3
D.10

答案： A

11.新考法 逆向思维法在解一元二次方程$x^{2}+px+q=0$时,小红看错了常数项q,得到方程的两个根是-4,2,小明看错了一次项系数p,得到方程的两个根是4,-3,则原来的方程是 (B)
A.$x^{2}+2x-8=0$
B.$x^{2}+2x-12=0$
C.$x^{2}-2x-12=0$
D.$x^{2}-2x-8=0$

答案： B

12.新考法 构造方程模型法已知实数s,t满足$2s^{2}+3s-1=0,2t^{2}+3t-1=0$且$s≠t$,则$\frac {1}{s}-\frac {1}{t}$的值为$\pm\sqrt{17}$.

答案： $\pm\sqrt{17}$

13.(2024·四川内江)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-px+1=0$(p为常数)有两个不相等的实数根$x_{1}$和$x_{2}$.
(1)填空:$x_{1}+x_{2}=$p,$x_{1}x_{2}=$1;
(2)求$\frac {1}{x_{1}}+\frac {1}{x_{2}},x_{1}+\frac {1}{x_{1}};$
(3)已知$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=2p+1$,求p的值.

答案： 解：
(1)$p$ 1
(2)$\because x_{1}+x_{2}=p$，$x_{1}x_{2}=1$，$\therefore\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{2}+x_{1}}{x_{1}x_{2}}=\frac{p}{1}=p$。$\because$关于$x$的一元二次方程$x^{2}-px + 1 = 0$（$p$为常数）有两个不相等的实数根$x_{1}$和$x_{2}$，$\therefore x_{1}^{2}-px_{1}+1=0$，$\therefore x_{1}-p+\frac{1}{x_{1}}=0$，即$x_{1}+\frac{1}{x_{1}}=p$；
(3)由根与系数的关系，得$x_{1}+x_{2}=p$，$x_{1}x_{2}=1$。$\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=2p + 1$，$\therefore(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=2p + 1$，$\therefore p^{2}-2=2p + 1$，解得$p_{1}=3$，$p_{2}=-1$。当$p = 3$时，$\Delta=p^{2}-4=9 - 4 = 5＞0$；当$p=-1$时，$\Delta=p^{2}-4=-3＜0$，不合题意，舍去；$\therefore p = 3$。

14.新视角 新定义我们定义:如果关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”.
(1)请说明方程$x^{2}-3x+2=0$是“倍根方程”；
解：因式分解，得$(x - 2)(x - 1)=0$，于是得$x - 2 = 0$，或$x - 1 = 0$，$\therefore x_{1}=2$，$x_{2}=1$，$\because$其中一个根是另一个根的2倍，$\therefore$方程$x^{2}-3x + 2 = 0$是“倍根方程”；
(2)若$(x-2)(mx+n)=0$是“倍根方程”,则m,n具有怎样的关系?
解：$\because(x - 2)(mx + n)=0$，$\therefore x - 2 = 0$，或$mx + n = 0$，$\therefore x_{1}=2$，$x_{2}=-\frac{n}{m}$。当$-\frac{n}{m}=2×2 = 4$时，$n=-4m$，即$4m + n = 0$；当$-\frac{n}{m}=\frac{1}{2}×2 = 1$时，$n=-m$，即$m + n = 0$。综上所述，m，n的关系式为$4m + n = 0$或$m + n = 0$；
(3)若一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(b^{2}-4ac≥0)$是“倍根方程”,请直接写出a,b,c的等量关系.
解：设方程的两根分别为$t$，$2t$，根据根与系数的关系，得$t + 2t=-\frac{b}{a}$，$t\cdot2t=\frac{c}{a}$，$\therefore t=-\frac{b}{3a}$，$\therefore2\cdot(-\frac{b}{3a})\cdot(-\frac{b}{3a})=\frac{c}{a}$，$\therefore$a,b,c的等量关系为$2b^{2}=9ac$。

答案： 解：
(1)因式分解，得$(x - 2)(x - 1)=0$，于是得$x - 2 = 0$，或$x - 1 = 0$，$\therefore x_{1}=2$，$x_{2}=1$，$\therefore$方程$x^{2}-3x + 2 = 0$是“倍根方程”；
(2)$\because(x - 2)(mx + n)=0$，$\therefore x - 2 = 0$，或$mx + n = 0$，$\therefore x_{1}=2$，$x_{2}=-\frac{n}{m}$。当$-\frac{n}{m}=2×2 = 4$时，$n=-4m$，即$4m + n = 0$；当$-\frac{n}{m}=\frac{1}{2}×2 = 1$时，$n=-m$，即$m + n = 0$。综上所述，$m$，$n$的关系式为$4m + n = 0$或$m + n = 0$；
(3)$\because$一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（$b^{2}-4ac\geq0$）是“倍根方程”，$\therefore$设方程的两根分别为$t$，$2t$，根据根与系数的关系，得$t + 2t=-\frac{b}{a}$，$t\cdot2t=\frac{c}{a}$，$\therefore t=-\frac{b}{3a}$，$\therefore2\cdot(-\frac{b}{3a})\cdot(-\frac{b}{3a})=\frac{c}{a}$，$\therefore2b^{2}=9ac$。