《2025年名师测控九年级数学上册人教版》

5. (2024·四川内江)已知二次函数$y = x^{2}-2x + 1$的图象向左平移2个单位长度得到抛物线$C$，点$P(2,y_{1})$，$Q(3,y_{2})$在抛物线$C$上，则$y_{1}$＜$y_{2}$。(选填“＞”或“＜”)

答案： ＜

6. (2024·宁夏)若二次函数$y = 2x^{2}-x + m$的图象与$x$轴有交点，则$m$的取值范围是____$m \leqslant \frac{1}{8}$。

答案： $m \leqslant \frac{1}{8}$

7. (2024·江苏无锡模拟)如图，一个农民想要沿着围墙的一侧围出一块矩形的土地，而栅栏构成另外三边。农民将把75段4m长的直栅栏拼在一起来建造，每段栅栏不可分割，且所有栅栏全部用完。设这个矩形地块的BC长为x m，矩形面积为y m²。
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)考虑到围出矩形的每段栅栏不可分割，当x取何值时，所围矩形土地的面积最大？

(1)y=-1/2x²+150x
(2)148或152

答案： 解:
(1) 这个矩形地块的 $B C$ 长为 $x \mathrm{~m}$, 则 $A B$ 长为 $\left(\frac{75 \times 4-x}{2}\right) \mathrm{m}$. 根据题意, 得 $y=x \cdot \frac{75 \times 4-x}{2}=-\frac{1}{2} x^{2}+150 x, \therefore y$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $y=-\frac{1}{2} x^{2}+150 x$;
(2) $\because y=-\frac{1}{2} x^{2}+150 x=-\frac{1}{2}(x-150)^{2}+ 11250, \because-\frac{1}{2}＜0$, 每段栅栏不可分割, $\therefore$ 当 $x=148$ 或 152 时, $y$ 有最大值, 最大值为 11248 . 答: 当 $x=148$ 或 152 时, 所围矩形土地的面积最大为 $11248 \mathrm{~m}^{2}$.

8. (2024·深圳龙岗区校级模拟)【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：
点$A(x,y)$是函数图象上任意一点，纵坐标$y$与横坐标$x$的差“$y - x$”称为点$A$的“纵横值”。
函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵值”。
【举例】已知点$A(1,3)$在函数$y = 2x + 1$图象上。
点$A(1,3)$的“纵横值”为$y - x = 3 - 1 = 2$；
函数$y = 2x + 1$图象上所有点的“纵横值”可以表示为$y - x = 2x + 1 - x = x + 1$，当$3\leqslant x\leqslant6$时，$x + 1$的最大值为$6 + 1 = 7$，所以函数$y = 2x + 1(3\leqslant x\leqslant6)$的“最优纵横值”为7。
【问题】根据定义，解答下列问题：
(1)①点$B(-6,2)$的“纵横值”为____8；
②求出函数$y=\frac {4}{x}+x(2\leqslant x\leqslant4)$的“最优纵横值”2；
(2)若二次函数$y=-x^{2}+bx + c$的顶点在直线$x=\frac {3}{2}$上，且最优纵横值为5，求$c$的值4；
(3)若二次函数$y=-x^{2}+(2b + 1)x - b^{2}+3$，当$-1\leqslant x\leqslant4$时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出$b$的值5或-2。

答案： 解:
(1) ① 8
(2) $y-x=\frac{4}{x}+x-x=\frac{4}{x} . \because 2 \leqslant x \leqslant 4, \therefore 1 \leqslant \frac{4}{x} \leqslant 2, \therefore$ 函数 $y=\frac{4}{x}+x(2 \leqslant x \leqslant$ 4) 的“最优纵横值”为 2 ;
(2) $\because$ 抛物线的顶点在直线 $x=\frac{3}{2}$ 上, $\therefore b=3, \therefore y=-x^{2}+3 x$ $+c, \therefore y-x=-x^{2}+2 x+c=-(x-1)^{2}+c+1 . \because$ 最优纵横值为 $5, \therefore c+1=5$, 解得 $c$ $=4$;
(3) $b$ 的值为 5 或 -2 . [解析: $\because y-x=-x^{2}+2 b x-b^{2}+3=-(x-b)^{2}+3, \therefore$ 当 $x$ $=b$ 时, $y-x$ 有最大值 3 , 当 $b＞4$ 时, $-16+8 b-b^{2}+3=2$, 解得 $b=5$, 或 $b=3$ (舍); 当 $b$ $＜-1$ 时, $-1-2 b-b^{2}+3=2$, 解得 $b=0$ (舍), 或 $b=-2$; 综上所述, $b$ 的值为 5 或 -2 ]