《2025年名师测控九年级数学上册人教版》

10. 已知二次函数$y = a x ^ { 2 } + b x + c$的图象如图所示，则点$P ( a, b )$所在的象限是（D）

A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

答案： D

11. 在平面直角坐标系中，二次函数$y = 2 x ^ { 2 } - 2 m x + m ^ { 2 } - 2 m$（$m$为常数）的图象经过点$( 0, 8 )$，其对称轴在$y$轴右侧，则该二次函数有（B）
A. 最大值$0$
B. 最小值$0$
C. 最大值$6$
D. 最小值$6$

答案： B

12. (2024·黑龙江牡丹江)将抛物线$y = a x ^ { 2 } + b x + 3$向下平移$5$个单位长度后，经过点$( - 2, 4 )$，则$6 a - 3 b - 7 =$______2.

答案： 2

13. (2024·福建)如图，已知二次函数$y = x ^ { 2 } + b x + c$的图象与$x$轴交于$A$，$B$两点，与$y$轴交于点$C$，其中$A ( - 2, 0 )$，$C ( 0, - 2 )$.
(1)求二次函数的解析式；
(2)若$P$是二次函数图象上的一点，且点$P$在第二象限，线段$PC$交$x$轴于点$D$，$\triangle PDB$的面积是$\triangle CDB$的面积的$2$倍，求点$P$的坐标.

(1)二次函数的解析式为$y=$$x^{2}+x-2$；
(2)点$P$的坐标为$(-3,4)$.

答案： 解：
(1)把$A(-2,0)$，$C(0,-2)$代入$y=x^{2}+bx+c$，得$\left\{\begin{array}{l} 4-2b+c=0\\ c=-2\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l} b=1\\ c=-2\end{array}\right.$。$\therefore$二次函数的解析式为$y=x^{2}+x-2$；
(2)设$P(m,n)(m＜0,n＞0)$，又$\because \triangle PDB$的面积是$\triangle CDB$的面积的2倍，$\therefore \frac {S_{\triangle PDB}}{S_{\triangle CDB}}=2$，即$\frac {\frac {1}{2}BD\cdot n}{\frac {1}{2}BD\cdot CO}=2$，$\therefore \frac {n}{CO}=2$。又$\because CO=2$，$\therefore n=2CO=4$。由$m^{2}+m-2=4$，$\therefore m_{1}=-3$，$m_{2}=2$(舍去)。$\therefore$点$P$的坐标为$(-3,4)$。

14. (2024·江苏扬州)如图，已知二次函数$y = - x ^ { 2 } + b x + c$的图象与$x$轴交于$A ( - 2, 0 )$，$B ( 1, 0 )$两点.
(1)求$b$，$c$的值；$b=$-1，$c=$2
(2)若点$P$在该二次函数的图象上，且$\triangle PAB$的面积为$6$，求点$P$的坐标.点$P$的坐标为(-3,-4)或(2,-4)

答案： 解：
(1)把$A(-2,0)$，$B(1,0)$代入$y=-x^{2}+bx+c$，得$\left\{\begin{array}{l} -4-2b+c=0\\ -1+b+c=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l} b=-1\\ c=2\end{array}\right.$；
(2)由
(1)知，二次函数的解析式为$y=-x^{2}-x+2$。设点$P$的坐标为$(m,-m^{2}-m+2)$。$\because \triangle PAB$的面积为6，$AB=1-(-2)=3$，$\therefore S_{\triangle PAB}=\frac {1}{2}AB\cdot |y_{P}|=\frac {1}{2}×3×|-m^{2}-m+2|=6$，$\therefore |m^{2}+m-2|=4$，即当$m^{2}+m-2=4$时，解得$m=-3$或$m=2$，当$m^{2}+m-2=-4$时，此方程无解，$\therefore P(-3,-4)$或$(2,-4)$。