《2025年名师测控九年级数学上册人教版》

1. 如图,将△ABC绕点A顺时针旋转角α,得到△ADE.若点E恰好在CB的延长线上,则∠BED的度数为 (D)

A. $\frac {α}{2}$
B. $\frac {2}{3}α$
C. α
D. $180^{\circ }-α$

答案： D

2. 如图,四边形ABCD是边长为5的正方形,E是DC上一点,DE=1.将△ADE绕点A顺时针旋转到与△ABF重合,则EF的长为 (D)

A. $\sqrt {41}$
B. $\sqrt {42}$
C. $5\sqrt {2}$
D. $2\sqrt {13}$

答案： D

3. (2024·武汉洪山区校级二模)如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3,矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB'C'D'.若点B的对应点B'落在边CD上,则B'C的长为______1.

答案： 1

4. (2024·湖南岳阳模拟)如图,已知在△ABC中,∠CAB=20°,∠ABC=30°,将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB'C'.以下结论:①BC=B'C',②AC//C'B',③C'B'⊥BB',④∠ABB'=∠ACC',其中,正确结论的序号是______①②④.

答案： ①②④

5. 如图①,△ABC和△DAE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°.
(1)猜想线段BD,CE之间的数量关系和位置关系,并说明理由;
数量关系：BD=CE，位置关系：BD⊥CE
(2)若图①中的△ABC固定不动,将△DAE绕点A旋转至如图②所示的位置,猜想线段BD,CE之间的数量关系和位置关系,直接写出结论,不必证明.
数量关系：BD=CE，位置关系：BD⊥CE

答案： 解:
(1) $BD = CE$，$BD \perp CE$. 理由如下: $ \because \triangle ABC $ 和 $ \triangle DAE $ 都是等腰直角三角形，$ \therefore AB = AC $，$ \angle BAD = \angle CAE = 90 ^ { \circ } $，$ AD = AE $，$ \therefore \triangle BAD \cong \triangle CAE ( SAS ) $，$ \therefore BD = CE $，$ \angle BDA = \angle CEA $. 延长 $ EC $ 交 $ BD $ 于点 $ F $，则 $ \angle BEF + \angle EBF = \angle BDA + \angle ABD = 180 ^ { \circ } - \angle BAD = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore \angle BFE = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore BD \perp CE $;
(2) $BD = CE$，$BD \perp CE$.

6. 如图,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜360°),得到矩形AEFG.

(1)当点E在BD上时,求证:FD=CD;
(2)当α为何值时,GC=GB?画出图形,并说明理由.
解:(1) 易证 $ \triangle AED \cong \triangle FDE ( SAS ) $，$ \therefore AE = FD $. 由旋转的性质，得 $ AE = AB $，$ \therefore AB = FD $. $ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是矩形，$ \therefore AB = CD $，$ \therefore FD = CD $; (2) 当 $ GC = GB $ 时，点 $ G $ 在 $ BC $ 的垂直平分线上，取 $ BC $ 的中点 $ H $，连接 $ GH $ 交 $ AD $ 于点 $ M $，连接 $ GC $，$ GB $，$ DG $. 分两种情况讨论: ① 如答图①，当点 $ G $ 在 $ AD $ 的右侧时，$ \because GC = GB $，$ \therefore GH \perp BC $，$ \therefore $ 四边形 $ ABHM $ 是矩形，$ \therefore AM = BH = \frac { 1 } { 2 } AD = \frac { 1 } { 2 } AG $，$ \therefore GM $ 垂直平分 $ AD $，$ \therefore GD = GA = DA $，$ \therefore \triangle ADG $ 是等边三角形，$ \therefore \angle DAG = 60 ^ { \circ } $，$ \therefore \alpha = 60 ^ { \circ } $; ② 如答图②，当点 $ G $ 在 $ AD $ 的左侧时，同理可得 $ \triangle ADG $ 是等边三角形，$ \therefore \angle DAG = 60 ^ { \circ } $，$ \therefore \alpha = 360 ^ { \circ } - 60 ^ { \circ } = 300 ^ { \circ } $. 综上所述，当 $ \alpha $ 为$ 60 ^ { \circ } $ 或 $ 300 ^ { \circ } $时，$ GC = GB $.

答案： 解:
(1) 易证 $ \triangle AED \cong \triangle FDE ( SAS ) $，$ \therefore AE = FD $. 由旋转的性质，得 $ AE = AB $，$ \therefore AB = FD $. $ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是矩形，$ \therefore AB = CD $，$ \therefore FD = CD $;
(2) 当 $ GC = GB $ 时，点 $ G $ 在 $ BC $ 的垂直平分线上，取 $ BC $ 的中点 $ H $，连接 $ GH $ 交 $ AD $ 于点 $ M $，连接 $ GC $，$ GB $，$ DG $. 分两种情况讨论: ① 如答图①，当点 $ G $ 在 $ AD $ 的右侧时，$ \because GC = GB $，$ \therefore GH \perp BC $，$ \therefore $ 四边形 $ ABHM $ 是矩形，$ \therefore AM = BH = \frac { 1 } { 2 } AD = \frac { 1 } { 2 } AG $，$ \therefore GM $ 垂直平分 $ AD $，$ \therefore GD = GA = DA $，$ \therefore \triangle ADG $ 是等边三角形，$ \therefore \angle DAG = 60 ^ { \circ } $，$ \therefore \alpha = 60 ^ { \circ } $; ② 如答图②，当点 $ G $ 在 $ AD $ 的左侧时，同理可得 $ \triangle ADG $ 是等边三角形，$ \therefore \angle DAG = 60 ^ { \circ } $，$ \therefore \alpha = 360 ^ { \circ } - 60 ^ { \circ } = 300 ^ { \circ } $. 综上所述，当 $ \alpha $ 为 $ 60 ^ { \circ } $ 或 $ 300 ^ { \circ } $ 时，$ GC = GB $.