《2025年名师测控九年级数学上册人教版》

1. (1)【问题发现】如图①，在等腰直角三角形ABC中，$∠ACB=90^{\circ },BC=a$，将边AB绕点B顺时针旋转$90^{\circ }$得到线段DB，连接CD，则$△BCD$的面积为____$\frac{1}{2}a^{2}$；(请用含a的式子表示)
(2)【类比探究】如图②，在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90^{\circ },BC=a$，将边AB绕点B顺时针旋转$90^{\circ }$得到线段DB，连接CD，(1)中的结论是否成立？若成立，请说明理由；
(3)【拓展应用】如图③，在等腰三角形ABC中，$AB=AC,BC=a$，将边AB绕点B顺时针旋转$90^{\circ }$得到线段DB，连接CD.试直接用含a的式子表示$△BCD$的面积.(不写探究过程)
$△BCD$的面积为____$\frac{1}{4}a^{2}$.

答案： 解:
(1)$\frac{1}{2}a^{2}$
(2)
(1)中的结论仍然成立.理由如下:过点D作DE⊥BC,交CB的延长线于点E.
∵∠ACB = 90°,
∴∠ABC + ∠BAC = 90°.由旋转的性质,得AB = DB,∠ABD = 90°,
∴∠ABC + ∠DBE = 90°,
∴∠BAC = ∠DBE.又∠E = ∠ACB = 90°,
∴△ABC≌△BDE(AAS),
∴DE = BC = a,
∴$S_{△BCD} = \frac{1}{2}BC \cdot DE = \frac{1}{2}a \cdot a = \frac{1}{2}a^{2}$;
(3)$S_{△BCD} = \frac{1}{4}a^{2}$.

2.【问题发现】如图①，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，且点E在边AB上，连接DE和BG，猜想线段DE与BG的数量关系和位置关系；(不必说明理由)
【类比探索】如图②，将图①中正方形AEFG绕点A逆时针旋转一定的角度，其他条件与问题中的条件相同，则问题中的结论是否仍成立？请根据图②加以说明；
【拓展应用】如图③，直线l上有两个动点A，B，直线l外有一个动点Q，连接QA，QB，以线段AB为边在l的另一侧作正方形ABCD，连接QD.随着动点A，B的移动，线段QD的长也会发生变化.若QA，QB的长分别为$3\sqrt {2},6$保持不变，线段QD的长在变化过程中是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.

答案：
解:[问题发现]$DE = BG$，$DE⊥BG$；[类比探索]结论仍成立,即$DE = BG$，$DE⊥BG$.理由如下:
∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴$AB = AD$，$AG = AE$，$∠BAD = ∠EAG = 90°$，
∴$∠BAD + ∠BAE = ∠EAG + ∠BAE$，即$∠DAE = ∠BAG$，
∴$△BAG ≌ △DAE(SAS)$，
∴$DE = BG$，$∠ABG = ∠ADE$.
∵$∠AMD + ∠ADE = 90°$，$∠AMD = ∠BME$，
∴$∠BME + ∠ABG = 90°$，
∴$∠DNB = 180° - (∠BME + ∠ABG) = 180° - 90° = 90°$，
∴$DE⊥BG$；[拓展应用]QD的长存在最大值.理由如下:如图③，以QA为边作正方形QAGF，连接QG，BG，则$QG = \sqrt{2}QA = \sqrt{2}×3\sqrt{2} = 6$，同
(2)可证$△DAQ ≌ △BAG$，
∴$DQ = BG$.当G，Q，B三点共线时，BG最长，此时$BG = QG + QB = 6 + 6 = 12$，即线段QD长的最大值为12.