《2025年名师测控九年级数学上册人教版》

7. 通过类比联想、引申拓展研究典型题目,可达到解一题知一类的目的.下面是一个案例,请补充完整.
原题:如图①,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,∠EAF=45°,连接EF,则EF=BE+DF,试说明理由.

(1)【思路梳理】
∵四边形ABCD是正方形,
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合,
∴∠ADG=∠B=90°.
又∵∠ADC=90°,
∴∠FDG=180°,∴点F,D,G共线.
根据SAS,易证△AFG≌△AFE,得EF=BE+DF;
(2)【类比引申】
如图②,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,点E,F分别在边BC,CD上,∠EAF=45°.若∠B,∠D都不是直角,则当∠B与∠D满足等量关系∠B+∠D=180°时,仍有EF=BE+DF;
(3)【联想拓展】
如图③,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D,E均在边BC上,且∠DAE=45°,猜想BD,DE,EC之间的等量关系,并写出推理过程.
DE²=EC²+BD².推理如下:将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACD′，则AB与AC重合，BD=CD′.连接ED′.易证△ADE≌△AD′E(SAS)，∴DE=D′E.又∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∴∠B+∠ACB=90°.由旋转的性质，得∠B=∠ACD′，∴∠ACD′+∠ACB=90°，即∠D′CE=90°，∴ED′²=EC²+CD′²，∴DE²=EC²+BD².

答案： 解:
(1) $SAS$ $ \triangle AFE $
(2) $ \angle B + \angle D = 180 ^ { \circ } $
(3) $ DE ^ { 2 } = EC ^ { 2 } + BD ^ { 2 } $. 推理如下: 将 $ \triangle ABD $ 绕点 $ A $ 逆时针旋转 $ 90 ^ { \circ } $ 至 $ \triangle ACD ^ { \prime } $，则 $ AB $ 与 $ AC $ 重合，$ BD = CD ^ { \prime } $. 连接 $ ED ^ { \prime } $. 易证 $ \triangle ADE \cong \triangle AD ^ { \prime } E ( SAS ) $，$ \therefore DE = D ^ { \prime } E $. 又 $ \because $ 在 $ Rt \triangle ABC $ 中，$ \angle BAC = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore \angle B + \angle ACB = 90 ^ { \circ } $. 由旋转的性质，得 $ \angle B = \angle ACD ^ { \prime } $，$ \therefore \angle ACD ^ { \prime } + \angle ACB = 90 ^ { \circ } $，即 $ \angle D ^ { \prime } CE = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore ED ^ { \prime 2 } = EC ^ { 2 } + CD ^ { \prime 2 } $，$ \therefore DE ^ { 2 } = EC ^ { 2 } + BD ^ { 2 } $.